逆行列
1 性質
$正方行列 \ A\ に対して、AB=BA=I\ \ (単位行列)\ となる行列 \ B\ が存在するとき、B\ を \ A\ の逆行列といい$
$A^{-1}\ \ と表わします。$
$\qquad AA^{-1}=A^{-1}A=I$
$A^{-1}\ には次のような性質があります。$
$(1) \quad Aの逆行列 \ A^{-1}\ は存在しても \ 1\ つしかない。$
$(証明)$
$\quad A^{-1}\ の他にもう一つの逆行列 \ A'\ が存在すると$
$\qquad AA^{-1}=A^{-1}A=I \qquad AA'=A'A=I$
$\quad よって$
\begin{eqnarray*} A'-A^{-1} &=&(A'-A^{-1})I\\ \\ &=&(A'-A^{-1})AA^{-1}\\ \\ &=&A'(AA^{-1})-A^{-1}(AA^{-1})\\ \\ &=&(A'A)A^{-1}-(A^{-1}A)A^{-1}\\ \\ &=&IA^{-1}-IA^{-1}\\ \\ &=&0 \end{eqnarray*} $\qquad \therefore \ \ A'=A^{-1}$
$(2) \quad (A^{-1})^{-1}=A$
$(証明)$
$\quad I=A^{-1}A \ \ の両辺に \ \ (A^{-1})^{-1}\ \ をかけて$
\begin{eqnarray*} (A^{-1})^{-1} &=&(A^{-1})^{-1}\cdot A^{-1}A\\ \\ &=&((A^{-1})^{-1}A^{-1})A\\ \\ &=&IA\\ \\ &=&A \end{eqnarray*}
$(3) \quad |A^{-1}|=\cfrac{1}{|A|}$
$(証明)$
$\quad AA^{-1}=I \quad より \quad |AA^{-1}|=|I|=1$
$\quad |A||A^{-1}|=1$
$\quad \therefore \ \ |A^{-1}|=\cfrac{1}{|A|}$
$\qquad なお、|AA^{-1}|=|A||A^{-1}|\ \ となることについては($行列式3 積$)を参考にしてください。$
$(4) \quad (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
$(証明)$
\begin{eqnarray*} & &(B^{-1}A^{-1})(AB)\\ \\ &=&B^{-1}(A^{-1}A)B\\ \\ &=&B^{-1}IB\\ \\ &=&B^{-1}B\\ \\ &=&I \end{eqnarray*}
$\quad よって \quad (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
$ここで、転置行列\ (行と列を入替えた行列のこと)\ の性質を調べます。$
$(補題)$
$\quad A\ ,B\ の転置行列 \ を \ ^tA ,\ ^tB\ とすると \qquad ^t(AB)= \ ^tB \ ^tA$
$(証明)$
\begin{eqnarray*} AB &=& \left( \begin{array}{rrr} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \ \ \\ & & \vdots & \ \ \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\ \ \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \ \ \\ & & \vdots & \ \ \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nn}\ \ \\ \end{array} \right)\\ \\ &=& \left( \begin{array}{rrr} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+ \cdots +a_{1n}b_{n1} & \cdots & a_{11}b_{1n}+a_{12}b_{2n}+ \cdots +a_{1n}b_{nn}\ \ \\ & \vdots & \ \ \\ a_{n1}b_{11}+a_{n2}b_{21}+ \cdots +a_{nn}b_{n1} & \cdots & a_{n1}b_{1n}+a_{n2}b_{2n}+ \cdots +a_{nn}b_{nn}\ \ \\ \end{array} \right) \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} ^t(AB) &=& \left( \begin{array}{rrr} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+ \cdots +a_{1n}b_{n1} & \cdots & a_{n1}b_{11}+a_{n2}b_{21}+ \cdots +a_{nn}b_{n1}\ \ \\ & \vdots & \ \ \\ a_{11}b_{1n}+a_{12}b_{2n}+ \cdots +a_{1n}b_{nn} & \cdots & a_{n1}b_{1n}+a_{n2}b_{2n}+ \cdots +a_{nn}b_{nn}\ \ \\ \end{array} \right) \end{eqnarray*} $一方$
\begin{eqnarray*} ^tB \ ^tA &=& \left( \begin{array}{rrr} b_{11} & b_{21} & \cdots & b_{n1} \ \ \\ & & \vdots & \ \ \\ b_{1n} & b_{2n} & \cdots & b_{nn}\ \ \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \ \ \\ & & \vdots & \ \ \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\ \ \\ \end{array} \right)\\ \\ &=& \left( \begin{array}{rrr} b_{11}a_{11}+b_{21}a_{12}+ \cdots +b_{n1}a_{1n} & \cdots & b_{11}a_{n1}+b_{21}a_{n2}+ \cdots +b_{n1}a_{nn}\ \ \\ & \vdots & \ \ \\ b_{1n}a_{11}+b_{2n}a_{12}+ \cdots +b_{nn}a_{1n} & \cdots & b_{1n}a_{n1}+b_{2n}a_{n2}+ \cdots +b_{nn}a_{nn}\ \ \\ \end{array} \right)\\ \\ &=& \left( \begin{array}{rrr} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+ \cdots +a_{1n}b_{n1} & \cdots & a_{n1}b_{11}+a_{n2}b_{21}+ \cdots +a_{nn}b_{n1}\ \ \\ & \vdots & \ \ \\ a_{11}b_{1n}+a_{12}b_{2n}+ \cdots +a_{1n}b_{nn} & \cdots & a_{n1}b_{1n}+a_{n2}b_{2n}+ \cdots +a_{nn}b_{nn}\ \ \\ \end{array} \right) \end{eqnarray*}
$よって \quad ^t(AB)=\ ^tB \ ^tA$
$これをつかうと次の性質が導けます。$
$(5) \quad ^t(A^{-1})= (^tA)^{-1}$
$(証明)$
$転置行列の性質をつかって \quad ^t(A^{-1} A)=\ ^tA\ ^t(A^{-1}) \quad より \quad ^tI=\ ^tA\ ^t(A^{-1})$
$\quad \therefore \ \ ^tA\ ^t(A^{-1})=I $
$\quad 一方 \quad ^tA\ (^tA)^{-1}=I \quad だから \quad ^tA\ ^t(A^{-1})= ^tA\ (^tA)^{-1}$
$\quad 両辺に左から \quad (^tA)^{-1} \quad をかけて$
$\qquad ^t(A^{-1})= (^tA)^{-1}$
逆行列メニュー に戻る
メインメニュー に戻る