茨城大学(数学) 2024年　問題1


$原点を \ O\ とする座標平面において、点 \ P\ が曲線 \ C_1:y=\log x \ \ 上を動くとき、線分 \ OP\ の中点 \ Q\ が描く$
$曲線を \ C_2\ とする 。y \geqq 0 \ \ の 範囲で、2\ つの曲線 \ C_1,\ C_2\ と \ x\ 軸で囲まれた図形を \ D\ とする。以下の各問に$
$答えよ。ただし、対数は自然対数とし、図形 \ D\ は境界線を含むものとする。$
$(1)\ \ 曲線 \ C_2\ の方程式を求めよ。$
$(2)\ \ 曲線 \ C_1\ と曲線 \ C_2\ の交点の座標を求め、図形 \ D\ を図示せよ。$
$(3)\ \ 図形 \ D\ の面積 \ S\ を求めよ。$
$(4)\ \ 図形 \ D\ を \ y\ 軸のまわりに \ 1\ 回転してできる立体の体積 \ V\ を求めよ。$


(1)

　

$P(t,\ \log t) , \ \ Q(x,\ y)\ \ とおくと$

$点Q\ は線分 \ OP\ の中点だから$

$x=\cfrac{t}{2},\quad y=\cfrac{\log t}{2}$

$t=2x \ \ を代入して$

$y=\cfrac{1}{2}\log 2x$

$よって \quad C_2 : y=\cfrac{1}{2}(\log x + \log 2)$

$C_1\ と \ C_2\ のグラフは右図のとおり$


(2)

　

$曲線 \ C_1\ と曲線 \ C_2\ の交点 \ R\ の \ x\ 座標は$

$\log x=\cfrac{1}{2}(\log x + \log 2) \quad を解いて$

$\log x=\log 2$

$\therefore \ \ x=2,\qquad y=\log 2 \quad だから \quad R(2,\ \log 2)$

$C_2 \ と \ x\ 軸の交点の座標は$

$\log x+\log 2=0 \quad より \quad x=\cfrac{1}{2}$

$図形 \ D\ は右図のとおり$


(3)


\begin{eqnarray*} S &=&\int_{\scriptsize{\dfrac{1}{2}}} ^1 \dfrac{1}{2}(\log x + \log 2) dx + \int_1^2 \big\{\dfrac{1}{2}(\log x + \log 2)-\log x \big\} dx\\ \\ &=& \dfrac{1}{2} \int_{\scriptsize{\dfrac{1}{2}}} ^1\log x dx -\dfrac{1}{2}\int _1^2 \log x dx + \dfrac{1}{2} \int_{\scriptsize{\dfrac{1}{2}}} ^1\log 2dx + \dfrac{1}{2} \int_1^2 \log 2 dx\\ \\ &=& \dfrac{1}{2} \int_{\scriptsize{\dfrac{1}{2}}} ^1\log x dx -\dfrac{1}{2}\int _1^2 \log x dx + \dfrac{1}{2} \int_{\scriptsize{\dfrac{1}{2}}} ^2\log 2dx \\ \\ & &\hspace{5em} ここで \quad \int \log xdx=x\log x -x \quad だから\\ \\ &=&\dfrac{1}{2} \big[x\log x -x \big]_{\scriptsize{\dfrac{1}{2}}} ^1 -\dfrac{1}{2}\big[x\log x -x \big] _1^2 + \dfrac{1}{2} \log 2 \times (2-\dfrac{1}{2})\\ \\ &=&\cfrac{1}{2}\big(-1-\dfrac{1}{2}\log \dfrac{1}{2} +\dfrac{1}{2}\big)-\cfrac{1}{2}(2\log 2-2+1)+\cfrac{3}{4}\log 2\\ \\ &=&\cfrac{1}{4} \end{eqnarray*}
$(別解)$

$y\ 軸方向に積分する方法$

$C_1 \ は \ \ x=e^y ,\quad C_2 \ は \ \ 2y=\log 2x \ \ より \ \ 2x=e^{2y}\ \ よって \ \ x=\cfrac{1}{2}e^{2y}$

\begin{eqnarray*} S &=&\int _0^{\log 2} \big(e^y-\dfrac{1}{2}e^{2y}\big)dy\\ \\ &=&\big[e^y-\dfrac{1}{4}e^{2y} \big]_0^{\log 2}\\ \\ &=&e^{\log 2} -\cfrac{1}{4}e^{2\log 2}-(1-\dfrac{1}{4})\\ \\ &=&2-\cfrac{1}{4} \times 4 -\cfrac{3}{4}\\ \\ &=&\cfrac{1}{4} \end{eqnarray*}

(4)


$C_1 \ を \ \ x_1=e^y ,\qquad C_2 \ を \ \ x_2=\cfrac{1}{2}e^{2y}\quad とすると$
\begin{eqnarray*} V &=&\pi \int _0^{\log 2} x_1^2dy - \pi \int _0^{\log 2} x_2^2 dy\\ \\ &=&\pi \int _0^{\log 2} \big(e^{2y}-\dfrac{1}{4}e^{4y}\big)dy\\ \\ &=&\pi \big[\dfrac{1}{2}e^{2y}-\dfrac{1}{16}e^{4y}\big] _0^{\log 2}\\ \\ &=&\pi \big(\dfrac{1}{2}(4-1) -\dfrac{1}{16}(16-1)\big)\\ \\ &=&\cfrac{9}{16}\pi \end{eqnarray*}

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