茨城大学(数学) 2023年　問題3


$n\ を自然数とする。z\ を \ 0\ でない複素数とし、$
$\quad S=z^{-2n}+z^{-2n+2}+z^{-2n+4}+\cdots +z^{-2}+1+z^2+\cdots +z^{2n-4}+z^{2n-2}+z^{2n}$
$とする。以下の各問に答えよ。$
$(1)\ \ z^{-1}S - zS \ \ を計算せよ。$
$(2)\ \ i\ を虚数単位とし、\theta \ を実数とする。z=\cos \theta +i\sin \theta \ \ のとき、自然数 \ k\ に対して$
$\qquad z^{-k} + z^k \ \ の実部と \ \ z^{-k} - z^k \ \ の虚部を \ \theta \ と \ k\ を用いて表せ。$
$(3)\ \ \theta \ を実数とし、\sin \theta \ne 0 \ \ とする。次の等式を証明せよ。$
\[\qquad 1+2\sum _{k=1}^n \cos 2k\theta =\cfrac{\sin (2n+1)\theta}{\sin \theta}\]


(1)


$z^{-1}S=z^{-2n-1}+z^{-2n+1}+z^{-2n+3}+\cdots +z^{-3}+z^{-1}+z+\cdots +z^{2n-3}+z^{2n-1}$

$\quad zS=\hspace{4em} z^{-2n+1}+z^{-2n+3}+ z^{-2n+5} + \cdots +z^{-1}+z+z^3+ \cdots +z^{2n-1}+z^{2n+1}$

$辺々引いて$

$z^{-1}S - zS=z^{-2n-1}-z^{2n+1}$


(2)


\begin{eqnarray*} z^{-k} + z^k &=&(\cos \theta +i\sin \theta)^{-k}+ (\cos \theta +i\sin \theta)^k\\ \\ &=&\big((\cos (-k\theta) +i\sin (-k\theta)\big) + (\cos k\theta +i\sin k\theta )\\ \\ &=&(\cos k\theta -i\sin k\theta ) + (\cos k\theta +i\sin k\theta )\\ \\ &=& 2\cos k\theta \\ \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} z^{-k} - z^k &=&(\cos \theta +i\sin \theta)^{-k} - (\cos \theta +i\sin \theta)^k\\ \\ &=&\big((\cos (-k\theta) +i\sin (-k\theta)\big) - (\cos k\theta +i\sin k\theta )\\ \\ &=&(\cos k\theta -i\sin k\theta ) - (\cos k\theta +i\sin k\theta )\\ \\ &=& -2i\sin k\theta \\ \end{eqnarray*}

(3)


$(1)より \quad (z^{-1} - z) S=z^{-(2n+1)}-z^{2n+1} \quad だから \quad S=\cfrac{z^{-(2n+1)}-z^{2n+1}}{z^{-1} - z}$

$(2)をつかって \quad z^{-(2n+1)}-z^{2n+1}=-2i\sin (2n+1)\theta ,\qquad z^{-1}-z=-2i\sin \theta \quad だから$

$S=\cfrac{-2i\sin (2n+1)\theta }{-2i\sin \theta}=\cfrac{\sin (2n+1)\theta }{\sin \theta}$

$一方、(2)をつかって$

\begin{eqnarray*} S &=&z^{-2n}+z^{-2n+2}+z^{-2n+4}+\cdots +z^{-2}+1+z^2+\cdots +z^{2n-4}+z^{2n-2}+z^{2n}\\ \\ &=&1+(z^{-2}+z^2)+(z^{-4}+z^4)+ \cdots + (z^{-2n}+z^{2n})\\ \\ &=&1+ 2\cos 2\theta + 2\cos 4\theta + \cdots + 2\cos 2n\theta \\ \\ &=&1+2\sum_{k=1}^n \cos 2k \theta \end{eqnarray*} $したがって$
\[1+2\sum_{k=1}^n \cos 2k \theta =\cfrac{\sin (2n+1)\theta }{\sin \theta}\]
$これを変形して$

\[2\sum_{k=1}^n \cos 2k \theta =\cfrac{\sin (2n+1)\theta }{\sin \theta}-1=\cfrac{\sin (2n+1)\theta -\sin \theta}{\sin \theta}=\cfrac{2\cos (n+1)\theta \sin n\theta}{\sin \theta}\]
\[\therefore \ \ \sum_{k=1}^n \cos 2k \theta =\cfrac{\cos (n+1)\theta \sin n\theta}{\sin \theta}\]

$(補充)$

$この設問の方法で関連する他の公式も求めてみましょう$

\[(Ⅰ) \quad \sum_{k=1}^n \cos (2k-1) \theta \]
$\quad T=z^{-(2n-1)}+z^{-(2n-3)}+ \cdots +z^{-1} +z +z^3 +\cdots +z^{2n-3}+z^{2n-1} \quad について$

$\quad z^{-1}T=z^{-2n}+z^{-(2n-2)}+ \cdots +z^{-2} +1 +z^2 +\cdots +z^{2n-4}+z^{2n-2}$

$\quad zT=z^{-(2n-2)}+z^{-(2n-4)}+ \cdots + 1 +z^2 +\cdots +z^{2n-2}+z^{2n}$

$\quad 辺々引いて$

$\quad (z^{-1} - z)T=z^{-2n} -z^{2n}$


$\quad T=\cfrac{z^{-2n}-z^{2n}}{z^{-1} - z}$

$\quad ここで、(2)より \quad z^{-k} + z^k= 2\cos k\theta ,\qquad z^{-k} - z^k =-2i\sin k\theta \quad だから$

$\quad T=\cfrac{-2i\sin 2n\theta }{-2i\sin \theta}=\cfrac{\sin 2 n\theta }{\sin \theta}$

$一方$

\begin{eqnarray*} \quad T &=&z^{-(2n-1)}+z^{-(2n-3)}+ \cdots +z^{-1} +z +z^3 +\cdots +z^{2n-3}+z^{2n-1}\\ \\ &=&(z^{-1} +z)+(z^{-3} +z^3)+ \cdots + (z^{-(2n-1)} +z^{2n-1})\\ \\ &=&2\cos \theta +2\cos 3\theta + \cdots + 2\cos (2n-1)\theta \\ \\ &=&2\sum _{k=1}^n \cos (2k-1)\theta\\ \end{eqnarray*} \[\quad したがって \qquad \sum _{k=1}^n \cos (2k-1)\theta =\cfrac{\sin 2n\theta}{2\sin \theta}\]

\[(Ⅱ) \quad \sum_{k=1}^n \sin 2k \theta \]
$\quad U=z^{-2n}+z^{-(2n-2)}+ \cdots +z^{-2} +1 -z^2 -z^4 -\cdots -z^{2n} \quad について$

$\quad z^{-1}U=z^{-(2n+1)}+z^{-(2n-1)}+ \cdots +z^{-1} -z -z^3 -\cdots -z^{2n-1}$

$\quad zU=z^{-(2n-1)}+z^{-(2n-3)}+ \cdots + z^{-1} +z -z^3 -\cdots -z^{2n+1}$

$\quad 辺々引いて$

$\quad z^{-1}U - zU=z^{-(2n+1)}-2z+z^{2n+1}$

$\quad (z^{-1} - z)U=(z^{-(2n+1)}+z^{2n+1})-2z$

$\quad U=\cfrac{(z^{-(2n+1)}+z^{2n+1})-2z}{z^{-1} - z}$

$\quad ここで、(2)より \quad 　z^{-k} + z^k= 2\cos k\theta ,\qquad z^{-k} - z^k =-2i\sin k\theta \quad だから$

\begin{eqnarray*} \quad U &=&\cfrac{2\cos (2n+1)\theta -2(\cos \theta +i\sin \theta)}{-2i\sin \theta}\\ \\ &=&-\cfrac{\cos (2n+1)\theta -\cos \theta -i\sin \theta }{i\sin \theta}\\ \\ &=&\cfrac{i\{\cos (2n+1)\theta -\cos \theta \} + \sin \theta }{\sin \theta}\\ \\ &=&1-\cfrac{2i\sin (n+1)\theta \sin n\theta }{\sin \theta}\\ \end{eqnarray*}
$一方$

\begin{eqnarray*} \quad U &=&z^{-2n}+z^{-(2n-2)}+ \cdots +z^{-2} +1 -z^2 -z^4 -\cdots -z^{2n}\\ \\ &=&1+(z^{-2} -z^2)+(z^{-4} -z^4)+ \cdots + (z^{-2n} -z^{2n})\\ \\ &=&1-2i\sin 2\theta -2i\sin 4\theta - \cdots - -2i\sin 2n\theta \\ \\ &=&1-2i\sum _{k=1}^n \sin 2k \theta\\ \end{eqnarray*}
$\quad したがって$
\[\quad 1-2i\sum _{k=1}^n \sin 2k \theta = 1-\cfrac{2i\sin (n+1)\theta \sin n\theta }{\sin \theta}\] \[\quad \sum _{k=1}^n \sin 2k \theta =\cfrac{\sin (n+1)\theta \sin n \theta}{\sin \theta}\]

\[(Ⅲ) \ \ \sum_{k=1}^n \sin (2k-1) \theta \]
$\quad V=z^{-(2n-1)}+z^{-(2n-3)}+ \cdots +z^{-1} -z -z^3 -\cdots -z^{2n-3}-z^{2n-1} \quad について$

$\quad z^{-1}V=z^{-2n}+z^{-(2n-2)}+ \cdots +z^{-2} -1 -z^2 -\cdots -z^{2n-4}-z^{2n-2}$

$\quad zV=z^{-(2n-2)}+z^{-(2n-4)}+ \cdots + 1 -z^2 -\cdots -z^{2n-2}-z^{2n}$

$\quad 辺々引いて$

$\quad (z^{-1} - z)V=z^{-2n} -2 +z^{2n}$

\begin{eqnarray*} \quad V &=&\cfrac{z^{-2n}+z^{2n}-2}{z^{-1} - z}\\ \\ &=&\cfrac{2\cos 2n\theta -2}{-2i\sin \theta}\\ \\ &=&\cfrac{-i(1-\cos 2 n\theta )}{\sin \theta} \end{eqnarray*}

$\quad 一方$

\begin{eqnarray*} \quad V &=&z^{-(2n-1)}+z^{-(2n-3)}+ \cdots +z^{-1} -z -z^3 -\cdots -z^{2n-3}-z^{2n-1}\\ \\ &=&(z^{-1} -z)+(z^{-3} -z^3)+ \cdots + (z^{-(2n-1)} -z^{2n-1})\\ \\ &=&-2i\sin \theta -2i\sin 3\theta - \cdots - 2i\sin (2n-1)\theta \\ \\ &=&-2i\sum _{k=1}^n \sin (2k-1)\theta\\ \end{eqnarray*}
$\quad したがって$

\[\quad -2i\sum _{k=1}^n \sin (2k-1)\theta =\cfrac{-i(1-\cos 2 n\theta )}{\sin \theta}\]
\[\quad \sum _{k=1}^n \sin (2k-1)\theta =\cfrac{1-\cos 2 n\theta }{2\sin \theta}\]

$以上の公式をまとめると$

\[\quad \sum _{k=1}^n \cos 2k\theta =\cfrac{\cos (n+1)\theta \sin n\theta}{\sin \theta} ,\hspace{5em} \sum _{k=1}^n \cos (2k-1)\theta =\cfrac{\sin 2n\theta}{2\sin \theta}\]
\[\quad \sum _{k=1}^n \sin 2k \theta =\cfrac{\sin (n+1)\theta \sin n \theta}{\sin \theta},\hspace{5em} \sum _{k=1}^n \sin (2k-1)\theta =\cfrac{1-\cos 2 n\theta }{2\sin \theta}\]



\[上の方法で、\sum _{k=1}^n \cos k\theta ,\qquad \sum _{k=1}^n \sin k\theta \quad を求めることもできますので是非やってみてください。\]

$なお、三角関数の積を和に直す公式を使って求める方法については($$\sum _{k=1}^n \sin kx,\sum _{k=1}^n \cos kx$$)を参考にしてください。$


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