北海道大学(理系) 2023年 問題4
$n\ を \ 2\ 以上の自然数とする。1\ 個のさいころを \ n\ 回投げて出た目の数を順に \ a_1,\ a_2,\ \cdots ,\ a_n\ \ とし、$
$K_n=|1-a_1|+|a_1-a_2|+\cdots + |a_{n-1}-a_n|+|a_n-6|\ \ とおく。$
$また、K_n \ のとりうる値の最小値を \ q_n\ とする。$
$(1)\ \ K_3=5 \ \ となる確率を求めよ。$
$(2)\ \ q_n \ \ を求めよ。また、K_n=q_n \ \ となるための \ a_1,\ a_2,\ \cdots ,\ a_n \ \ に関する必要十分条件を求めよ。$
$(3)\ \ n\ を \ 4\ 以上の自然数とする。L_n=K_n+|a_4-4| \ \ とおき、L_n \ のとりうる値の最小値を \ r_n \ とする。$
$\quad L_n=r_n \ \ となる確率 \ p_n\ を求めよ。$
(1)
$a_1,\ a_n \ はさいころを投げて出た目の数だから \quad a_1 \geqq 1,\quad a_n \leqq 6 \ \ に注意して$
\begin{eqnarray*} K_3 &=&|1-a_1|+|a_1-a_2|+|a_2-a_3|+|a_3-6|\\ \\ &=&(a_1-1)+|a_1-a_2|+|a_2-a_3|+(6-a_3)\\ \\ &=&5+a_1-a_3+|a_1-a_2|+|a_2-a_3|\\ \end{eqnarray*}
$したがって \quad K_3=5 \ \ となるのは \quad a_1-a_3+|a_1-a_2|+|a_2-a_3|=0 \quad のときである。$
(i)$\ \ a_1 \geqq a_2 \geqq a_3 \quad のとき$
$\quad a_1-a_3+(a_1-a_2)+(a_2-a_3)=0 \qquad a_1=a_3 \qquad \therefore \ \ a_1=a_2=a_3$
(ii)$\ \ a_1 \geqq a_3 \geqq a_2 \quad のとき$
$\quad a_1-a_3+(a_1-a_2)+(a_3-a_2)=0 \qquad a_1=a_2 \qquad \therefore \ \ a_1=a_2=a_3$
(iii)$\ \ a_2 \geqq a_1 \geqq a_3 \quad のとき$
$\quad a_1-a_3+(a_2-a_1)+(a_2-a_3)=0 \qquad a_2=a_3 \qquad \therefore \ \ a_1=a_2=a_3$
(iv)$\ \ a_2 \geqq a_3 \geqq a_1 \quad のとき$
$\quad a_1-a_3+(a_2-a_1)+(a_2-a_3)=0 \qquad a_2=a_3 \qquad \therefore \ \ a_2=a_3 \geqq a_1$
(v)$\ \ a_3 \geqq a_1 \geqq a_2 \quad のとき$
$\quad a_1-a_3+(a_1-a_2)+(a_3-a_2)=0 \qquad a_1=a_2 \qquad \therefore \ \ a_3 \geqq a_1=a_2$
(vi)$\ \ a_3 \geqq a_2 \geqq a_1 \quad のとき$
$\quad a_1-a_3+(a_2-a_1)+(a_3-a_2) =0 \qquad つねに成りたつ$
$以上まとめて \quad K_3=5 \ \ となるのは \quad a_1 \leqq a_2 \leqq a_3 \quad のときである。$
$1\ 個のさいころを \ 3\ 回投げて出た目の数 が \quad a_1 \leqq a_2 \leqq a_3 \quad となるのは$
$集合\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\}\ \ から重複を許して \ 3\ 個取り出して、小さい順に並べればよいから、(重複組合せ)$
${}_6H_3={}_{6+3-1}C_3={}_8C_3=\cfrac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2}=56 \ \ 通り$
$したがって \quad K_3=5 \ となる確率は \quad \cfrac{56}{6^3}=\cfrac{7}{27}$
(2)
$三角不等式より$
$|(1-a_1)+(a_1-a_2)+\cdots + (a_{n-1}-a_n)+(a_n-6)|\leqq |1-a_1|+|a_1-a_2|+\cdots + |a_{n-1}-a_n|+|a_n-6|\ \ だから$
$5 \leqq |1-a_1|+|a_1-a_2|+\cdots + |a_{n-1}-a_n|+|a_n-6|$
$よって \quad K_n \geqq 5$
$K_n=5+(a_1-a_n)+|a_1-a_2|+\cdots + |a_{n-1}-a_n| \quad だから$
$K_n=5 \ \ となるのは \quad (a_1-a_n)+|a_1-a_2|+\cdots + |a_{n-1}-a_n|=0 \quad のときである。$
$(1)と同様に考えてこれが成りたつのは \quad a_1 \leqq a_2 \leqq \cdots \leqq a_n \quad のときである。$
$したがって \quad q_n=5\ \ で \ K_n=5\ となるための必要十分条件は \quad a_1 \leqq a_2 \leqq \cdots \leqq a_n $
(3)
$|a_4-4| \geqq 0 \quad だから \quad L_n=K_n+|a_4-4| \ \ の最小値は \ K_n \ が最小値をとったときで$
$a_4=4 \ \ かつ \ \ K_n=5 \ \ のときである。このとき \ \ r_n=5\ \ である。$
$a_1 \leqq a_2 \leqq a_3 \leqq a_4 \leqq a_5 \leqq \cdots \leqq a_n \quad だから \quad a_1 \leqq a_2 \leqq a_3 \leqq 4 \leqq a_5 \leqq \cdots \leqq a_n $
(i)$\ \ a_1 \leqq a_2 \leqq a_3 \leqq 4 \quad となるのは$
$\quad 集合\{1,\ 2,\ 3,\ 4\}\ \ から重複を許して \ 3\ 個取り出して、小さい順に並べればよいから$
$\quad {}_4H_3={}_{4+3-1}C_3={}_6C_3=\cfrac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2}=20 \ \ 通り$
(ii)$\ \ 4 \leqq a_5 \leqq a_6 \leqq \cdots \leqq a_n \quad となるのは$
$\quad 集合\{4,\ 5,\ 6\}\ \ から重複を許して \ \ n-5+1=n-4\ 個取り出して、小さい順に並べればよいから$
\begin{eqnarray*} \quad {}_3H_{n-4} &=&{}_{3+(n-4)-1}C_{n-4}\\ \\ &=&{}_{n-2}C_{n-4}\\ \\ &=&{}_{n-2}C_{(n-2)-(n-4)}\\ \\ &=&{}_{n-2}C_2\\ \\ &=&\cfrac{(n-2)(n-3)}{2} \ \ 通り \end{eqnarray*}
$したがって \quad 全部で \ \ 20 \times \cfrac{(n-2)(n-3)}{2}=10(n-2)(n-3) \ \ 通り$
$求める確率 \ \ p_n \ は \quad p_n=\cfrac{10(n-2)(n-3)}{6^n}$
$なお、n=4 \ のとき$ (ii)$ は \quad \cfrac{(4-2)(4-3)}{2}=1 \ \ 通りだからこれも含めて$
$p_n=\cfrac{10(n-2)(n-3)}{6^n} \ \ (n \geqq 4)$
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