北海道大学(理系) 2023年　問題3


$以下の問いに答えよ。ただし、e\ は自然対数の底を表す。$
$(1)\ \ k\ を実数の定数とし、f(x)=xe^{-x}\ \ とおく。方程式 \ f(x)=k\ \ の異なる実数解の個数を求めよ。$
\[\quad ただし、\lim _{x \rightarrow \infty}f(x)=0\ \ を用いてもよい。\] $(2)\ \ xye^{-(x+y)}=c \ \ をみたす正の実数 \ x,\ y\ の組がただ \ 1\ つ存在するときの実数 \ c\ の値を求めよ。$
$(3)\ \ xye^{-(x+y)}=\cfrac{3}{e^4}\ \ をみたす正の実数 \ x,\ y\ を考えるとき、y\ のとりうる値の最大値とそのときの$
$\quad x\ の値を求めよ。$


(1)

　

$f(x)=xe^{-x} \qquad f'(x)=e^{-x}-xe^{-x}=(1-x)e^{-x}$

$f'(x)=0 \quad より \quad x=1 \quad f(x)\ の増減表は$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} x& \cdots & 1 & \cdots \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & \\ \hline f(x) & \nearrow & 極大 & \searrow \\ \end{array} \]
$x=1 \ で \ f(x)\ は極大となり、極大値は \ \ f(1)=e^{-1}$

$y=f(x)\ のグラフは右図のとおり$

$f(x)=k\ \ の異なる実数解の個数は \ \ y=f(x)\ \ と \ \ y=k\ \ の共有点の個数に一致するから$

$\quad $(i)$\ \ \ k \leqq 0 \hspace{5em} のとき \ \ 1\ 個$

$\quad $(ii)$\ \ 0 < k < e^{-1} \qquad のとき \ \ 2\ 個$

$\quad $(iii)$\ \ k =e^{-1} \hspace{3em} \ \ のとき \ \ 1\ 個$

$\quad $(iv)$\ \ k > e^{-1} \hspace{3em}\ \ \ \ のとき \ \ 0\ 個$


(2)


$実数 \ c\ に対して、xye^{-(x+y)}=c \ \ をみたす正の実数 \ x,\ y\ の組がただ \ 1\ つ存在するとき$

$xe^{-x}\cdot ye^{-y}=c \ \ より \ \ c=c_1c_2 \ \ をみたす実数 \ c_1,\ c_2\ に対して \ \ xe^{-x}=c_1,\quad ye^{-y}=c_2 \ をみたす実数 \ x,\ y\ が$

$ただ \ 1\ つ存在すればよい。$

$それは(1)より \quad c_1=c_2=e^{-1} \ \ で、x=y=1 \ のときである。$

$よって \quad c=e^{-1}\cdot e^{-1}=e^{-2}$


(3)


　

$xye^{-(x+y)}=\cfrac{3}{e^4}\ \ より \quad X=xe^{-x},\ \ Y=ye^{-y}\quad とおくと $

$x,\ y\ は正だから(1)より \quad 0 < X \leqq e^{-1},\quad 0 < Y \leqq e^{-1} $

$X,Y がこの範囲で、XY=\cfrac{3}{e^4}\quad をみたすのは右図のとおりで$

$\quad 3e^{-3} \leqq Y \leqq e^{-1} \quad すなわち \quad 3e^{-3} \leqq ye^{-y} \leqq e^{-1}$

$これをみたす \ y\ は(1)より右図のとおりであるから$

　

$ye^{-y} = 3e^{-3} \quad をみたす \ y\ は \ 2\ つある。$

$それを \quad y_1 < 1 < y_2 \quad とおくと$

$とりうる値の最大値は \quad y=y_2=3$

$このとき \quad X=xe^{-x}=e^{-1} \quad だから \quad x=1$


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