北海道大学(理系) 2023年　問題1


$複素数平面上における図形 \ C_1,\ C_2,\ \cdots , \ C_n,\ \cdots \ は次の条件 \ (A)\ と \ (B)\ をみたすとする。$
$ただし、i\ は虚数単位とする。$
$\quad (A)\ \ C_1\ は原点 \ O\ を中心とする半径 \ 2\ の円である。$
$\quad (B)\ \ 自然数 \ n\ に対して、z\ が \ C_n\ 上を動くとき \ \ 2w=z+1+i\ \ で定まる \ w\ の描く図形が \ C_{n+1}\ である。$
$(1)\ \ すべての自然数 \ n\ に対して、C_n\ は円であることを示し、その中心を表す複素数 \ \alpha _n \ と半径 \ r_n \ を求めよ。$
\[(2)\ \ C_n\ 上の点と \ O\ との距離の最小値を \ d_n\ とする。このとき、d_n\ を求めよ。また、\lim _{n \rightarrow \infty} d_n \ \ を求めよ。\]


(1)


$すべての自然数 \ n\ に対して、C_n\ は円であることを数学的帰納法で示す。$

(i)$\ \ n=1 \ \ のとき \qquad (A)より、C_1\ は原点 \ O\ を中心とする半径 \ 2\ の円であるから$

$\quad \ n=1\ \ のとき成りたつ。$

(ii)$\ \ n=k \ \ のとき成りたつとすると \qquad C_k \ は中心 \ \ \alpha _k 、半径 \ \ r_k \ の円であるから \quad |z - \alpha _k|=r_k$

$\quad このとき$

$\quad 2w=z+1+i \quad より \quad z=2w-1-i$

$\quad |z - \alpha _k|=r_k \quad に代入して \quad |2w-1-i-\alpha _k|=r_k \qquad \big|w- \cfrac{\alpha _k+1+i}{2}\big|=\cfrac{r_k}{2}$

$\quad w\ の描く図形が \ C_{n+1}\ \ だから \ \ C_{n+1} \ \ は、中心 \ \ \cfrac{\alpha _k+1+i}{2},\ \ 半径 \ \ \cfrac{r_k}{2}\ \ の円を描く。$

$\quad よって \ \ n=k+1 \quad のときも成りたつ。$

(i),(ii)$\ \ より \ すべての自然数 \ n\ について \quad C_n\ は円である。$

$C_n\ の中心は$

$\quad \alpha _{n+1}=\cfrac{1}{2}\alpha _n + \cfrac{1+i}{2} , \qquad \alpha _1=0 \quad より$

$\quad 特性方程式 \quad \beta =\cfrac{1}{2}\beta+ \cfrac{1+i}{2} \quad を解いて \quad \beta=1+i$

$\quad 辺々引いて \quad \alpha _{n+1} -\beta =\cfrac{1}{2}(\alpha _n -\beta )$

$\quad \alpha _{n+1} -(1+i)=\cfrac{1}{2}(\alpha _n -(1+i))$

$\quad \alpha _n-(1+i)=(\alpha_1-(1+i)\big(\cfrac{1}{2}\big)^{n-1}$

$\quad \alpha _n=1+i-(1+i)\big(\cfrac{1}{2}\big)^{n-1}=1-\big(\cfrac{1}{2}\big)^{n-1}+i\big(1-\big(\cfrac{1}{2}\big)^{n-1})$

$C_n \ の半径は$

$\quad r_{n+1}=\cfrac{1}{2}r_n , \quad r_1=2 \quad より$

$\quad r_n=r_1\big(\cfrac{1}{2}\big)^{n-1}=2\big(\cfrac{1}{2}\big)^{n-1}=\big(\cfrac{1}{2}\big)^{n-2}$


(2)


$原点 \ O\ と円 \ C_n \ の中心を結んだ直線と円との交点のうち、原点に近い方を \ P_n \ とすると、$

$C_n\ 上の点と \ O\ との距離の最小値は \ OP_n \ である。$

　

$(1)より \quad |\alpha _n|=\big|1-\big(\cfrac{1}{2}\big)^{n-1}+i\big(1-(\cfrac{1}{2}\big)^{n-1})\big|=\sqrt{2}\big(1-(\cfrac{1}{2}\big)^{n-1}),\quad r_n=\big(\cfrac{1}{2}\big)^{n-2}$

$よって$

$\quad |\alpha_1|=0,\quad r_1=2 \quad より\quad |\alpha_1| < r_1$

$\quad |\alpha_2|=\cfrac{\sqrt{2}}{2},\quad r_2=1 \quad より \quad |\alpha_2| < r_2$

$\quad |\alpha_3|=\cfrac{3\sqrt{2}}{4},\quad r_3=\cfrac{1}{2} \quad より \quad |\alpha_3| > r_3$

$\hspace{5em} \vdots $

(i)$\ \ n=1,\ 2\ \ のとき \quad |\alpha _n| < r_n \quad だから$
\begin{eqnarray*} \quad d_n &=&r_n-|\alpha _n|\\ \\ &=&2\big(\cfrac{1}{2}\big)^{n-1} - \sqrt{2}\big(1-(\cfrac{1}{2}\big)^{n-1})\\ \\ &=&(2+\sqrt{2})\big(\cfrac{1}{2}\big)^{n-1} -\sqrt{2}\\ \end{eqnarray*}

　

(ii)$\ \ n=3,\ 4,\ \cdots \ \ のとき \quad |\alpha _n| > r_n \quad だから$

\begin{eqnarray*} \quad d_n &=&|\alpha _n|-r_n\\ \\ &=&\sqrt{2}\big(1-(\cfrac{1}{2}\big)^{n-1})- 2\big(\cfrac{1}{2}\big)^{n-1} \\ \\ &=&\sqrt{2}-(2+\sqrt{2})\big(\cfrac{1}{2}\big)^{n-1} \\ \end{eqnarray*}
$n \longrightarrow \infty \quad のとき \ \ $(ii)$\ \ の場合で、 \quad \big(\cfrac{1}{2}\big)^{n-1} \longrightarrow 0 \quad だから$

\[\qquad \lim _{n \rightarrow \infty} d_n =\sqrt{2}\]

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