北海道大学(理系) 2022年　問題5


$複素数 \ z\ に関する次の \ 2\ つの方程式を考える。ただし、\overline{z}\ を \ z\ と共役な複素数とし、i\ を虚数単位とする。$
$\hspace{3em} z\overline{z}=4 \cdots ① \hspace{5em} |z|=|z-\sqrt{3}+i| \cdots ②$
$\quad (1)\ \ ①、②それぞれの方程式について、その解 \ z\ 全体が表す図形を複素数平面上に図示せよ。$
$\quad (2)\ \ ①、②の共通解となる複素数をすべて求めよ。$
$\quad (3)\ \ (2)で求めたすべての複素数の積を \ w\ とおく。このとき、w^n\ が負の実数となるための整数 \ n\ の$
$\qquad 必要十分条件を求めよ。$


$(解説)$

$(1)\ \ 式①、②の表す図形がわかればOKですが、わからなければ \ z=x+yi \ と置きましょう。$
$(2)\ \ 2\ つの図形の交点は\ xy\ 表示して連立方程式を解けばよいでしょう。あるいは図形を用いても解けます。$
$(3)\ \ w^n\ を極形式で表して、ド・モアブルの定理を使います。$


(1)

　
$①は \quad z\overline{z}=4 \quad より \quad |z|^2=4 \quad |z|=2$

$\quad これは原点中心半径 \ 2\ の円を表す。$

$②の \quad |z|=|z-\sqrt{3}+i| \ \ は原点と点 \ P(\sqrt{3}-i)\ から等距離にある点を$
$\quad 表すから、線分 \ OP\ の垂直二等分線である。$

$ ①、②が表す図形は右図のとおり$

$なお、z=x+yi \ \ として \ xy\ 表示すると$

$①は \quad z\overline{z}=4 \quad より \quad (x+yi)(x-yi)=4 \qquad \therefore \ \ x^2+y^2=4 $

$②は \quad |z|=|z-\sqrt{3}+i| \quad より \quad |x+yi|^2=|x+yi-\sqrt{3}+i|^2 $

$\qquad x^2+y^2=(x-\sqrt{3})^2+(y+1)^2 \qquad \therefore \ \ y=\sqrt{3}x-2$


(2)


$①、②の共通解は次の連立方程式の解である。$
\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} x^2+y^2=4 \hspace{5em}\ ①\\ y=\sqrt{3}x-2 \hspace{5em}②\\ \end{array} \right. \]
$②を①に代入して \qquad x^2+(\sqrt{3}x-2)^2=4$

$\quad x^2-\sqrt{3}x=0 \qquad \therefore \ \ x=0,\quad \sqrt{3}$

$\quad x=0 \quad のとき \quad y=-2,\qquad x=\sqrt{3} \quad のとき \quad y=1$

$よって　①、②の共通解は　z=-2i,\quad \sqrt{3}+i$


　
$(別解)$

$xy\ 平面座標で考えると \quad 点P(\sqrt{3},\ -1)$

$OP\ と\ x\ 軸のなす角は \quad \angle COP=30°$

$\angle AOP=90°-\angle COP=60°$

$OP \perp AB \quad だから \quad \angle OAB=30°$

$OA=OB \quad だから \quad \angle OBA=30°$

$\triangle OAB \ \ において \quad \angle BOC=180°-90°-2 \times 30 °=30°$

$ \triangle OPB \ \ は \ OP=OB\ の二等辺三角形で、\angle BOC = \angle POC \quad だから \quad OC \perp BP$

$よって \quad OC=OB\cos 30°=\sqrt{3},\quad BC=OB\sin 30°=1$


(3)


$w=-2i \times (\sqrt{3}+i)=4(\cfrac{1}{2}-\cfrac{\sqrt{3}}{2}i)=4\big(\cos \cfrac{\pi}{3}-i\sin\cfrac{\pi}{3}\big)$

$w^n=4^n\big(\cos \cfrac{n\pi}{3}-i\sin\cfrac{n\pi}{3}\big)$

$これが負の実数となるための必要十分条件は$

(i)$\ \ \sin\cfrac{n\pi}{3}=0 \quad より \quad \cfrac{n\pi}{3}=l\pi \ \ (l\ は整数) \qquad n=3l$

(ii)$\ \ \cos \cfrac{n\pi}{3} < 0 \quad より \quad \cos l\pi < 0 \qquad l=2k-1\ \ (k\ は整数)$

$したがって \quad 　n=3(2k-1)=6k-3 \ \ (kは整数)$



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