北海道大学(理系) 2021年 問題4
$a_1=2,\ b_1=1\ および \ a_{n+1}=2a_n+3b_n,\quad b_{n+1}=a_n+2b_n \ \ (n=1,2,3,\cdots)\ \ で定められた数列 \ \{a_n\},\{b_n\}$
$がある。c_n=a_nb_n \ とおく。$
$\quad (1)\ \ c_2\ を求めよ。$
$\quad (2)\ \ c_n\ は偶数であることを示せ。$
$\quad (3)\ \ n\ が偶数のとき、c_n\ は\ 28\ で割り切れることを示せ。$
$(解説)$
$(1)は点をくれるおまけの問題です。$
$(2)は \ a_n\ と \ b_n\ の偶奇性を調べるか、数学的帰納法で一気にまとめるかの方法が考えられます。$
$(3)は \ nが偶数のときという条件をどう扱うかで解答方法がわかれます。$
(1)
$\quad a_2=2a_1+3b_1=2 \times 2+3 \times 1=7$
$\quad b_2=a_1+2b_1=2 +2 \times 1=4$
$よって$
$\quad c_2=a_2b_2=7 \times 4=28$
(2)
$\quad c_n\ が偶数であることを数学的帰納法で示す。$
$\quad $(i)$\ \ n=1 のとき$
$\hspace{3em} c_1=a_1b_1=2 \quad は偶数$
$\quad $(ii)$\ \ n=k \ のとき \ c_k \ が偶数であるとすると$
$\hspace{3em} c_{k+1}=a_{k+1}b_{k+1}=(2a_k+3b_k)(a_k+2b_k)=2a_k^2+6b_k^2+7a_kb_k$
$\hspace{3em}a_k^2+3b_k^2=p_k \quad とおくと$
$\hspace{3em} c_{k+1}=2p_k+7c_k \ \ は偶数となる。$
$\quad $(i),(ii)$\ \ よりすべての自然数 \ n\ について \ c_n\ は偶数である。$
$(別解)$
$\quad a_1=2 \ \ は偶数 \quad b_1=1\ \ は奇数だから$
$\quad a_2=2a_1+3b_1 \quad は \quad (偶数)+(奇数)\ \ で \ \ 奇数$
$\quad b_2=a_1+2b_1 \quad は \quad (偶数)+(偶数)\ \ で \ \ 偶数$
$一般に$
(i)$\ \ a_k \ が偶数 \quad b_k\ が奇数 \ \ ならば$
$\quad a_{k+1}=2a_k+3b_k \quad は \quad (偶数)+(奇数)\ \ で \ \ 奇数$
$\quad b_{k+1}=a_k+2b_k \quad は \quad (偶数)+(偶数)\ \ で \ \ 偶数$
(ii)$\ \ a_k \ が奇数 \quad b_k\ が偶数 \ \ ならば$
$\quad a_{k+1}=2a_k+3b_k \quad は \quad (偶数)+(偶数)\ \ で \ \ 偶数$
$\quad b_{k+1}=a_k+2b_k \quad は \quad (奇数)+(偶数)\ \ で \ \ 奇数$
$つまり、a_n\ と \ b_n\ の偶奇性は交互に入れ替わるが、一方は必ず偶数であるから \quad c_n=a_nb_n \ は偶数となる。$
(3)
$\qquad a_{k+2}=2a_{k+1}+3b_{k+1}=2(2a_k+3b_k)+3(a_k+2b_k)=7a_k+12b_k$
$\qquad b_{k+2}=a_{k+1}+2b_{k+1}=(2a_k+3b_k)+2(a_k+2b_k)=4a_k+7b_k$
$よって$
\begin{eqnarray*} c_{k+2} &=&a_{k+2}b_{k+2}\\ \\ &=&(7a_k+12b_k)(4a_k+7b_k)\\ \\ &=&28a_k^2+97a_k b_k+ 84b_k^2\\ \\ &=&28(a_k^2+3b_k^2) + 97a_kb_k\\ \\ &=&28(a_k^2+3b_k^2) + 97c_k\\ \end{eqnarray*} $これをもとに、n\ が偶数のとき、c_n\ は\ 28\ で割り切れることを数学的帰納法で示す。$
(i)$\ \ n=2\ \ のとき$
$\qquad c_2=28 \ \ だから \ \ c_2\ は \ 28\ で割り切れる$
(ii)$\ \ n=k\ \ (kは偶数)のとき \ \ c_k\ が \ 28\ で割り切れるとすると$
$\qquad 上の式から \ \ c_{k+2}\ も \ 28\ で割り切れる。$
(i),(ii)$より、すべての自然数 \ n\ に対して、n\ が偶数ならば \ c_n\ は \ 28\ の倍数である。$
$(研究)$
$与えられた漸化式を解いて、a_n,\ b_n\ を求めます。$
$\qquad a_{n+1}=2a_n+3b_n \quad より \quad b_n=\cfrac{1}{3}a_{n+1}-\cfrac{2}{3}a_n $
$これを \quad b_{n+1}=a_n+2b_n \quad に代入して$
$\qquad \cfrac{1}{3}a_{n+2}-\cfrac{2}{3}a_{n+1}=a_n+2\big(\cfrac{1}{3}a_{n+1}-\cfrac{2}{3}a_n\big)$
$\qquad a_{n+2}=4a_{n+1}-a_n$
$同様にして \quad b_{n+2}=4b_{n+1}-b_n \quad も得られます。$
$これらの漸化式を解いて$
$\qquad a_n=\cfrac{1}{2}\big\{(2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n\big\},\qquad b_n=\cfrac{1}{2\sqrt{3}}\big\{(2+\sqrt{3})^n-(2-\sqrt{3})^n\big\}$
$よって$
\begin{eqnarray*} c_n &=&a_n b_n\\ \\ &=&\cfrac{1}{2}\big\{(2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n\big\} \times \cfrac{1}{2\sqrt{3}}\big\{(2+\sqrt{3})^n-(2-\sqrt{3})^n\big\}\\ \\ &=&\cfrac{1}{4\sqrt{3}}\big\{(2+\sqrt{3})^{2n}-(2-\sqrt{3})^{2n}\big\}\\ \\ &=&\cfrac{1}{4\sqrt{3}}\big\{(7+4\sqrt{3})^n-(7-4\sqrt{3})^n\big\}\\ \\ \end{eqnarray*} $\quad n=2m \quad とおくと$
$\qquad c_{2m}=\cfrac{1}{4\sqrt{3}}\big\{(7+4\sqrt{3})^{2m}-(7-4\sqrt{3})^{2m}\big\} =\cfrac{1}{4\sqrt{3}}\big\{(97+56\sqrt{3})^m-(97-56\sqrt{3})^m\big\}$
$\quad (97+56\sqrt{3})^m=p_m+q_m\sqrt{3} \quad とおくと、計算は省略しますが、$
$\quad (97-56\sqrt{3})^m=p_m-q_m\sqrt{3} \quad となります。$
$したがって$
$\qquad c_{2m}=\cfrac{1}{4\sqrt{3}}\big\{(p_m+q_m\sqrt{3})-(p_m-q_m\sqrt{3})\big\}=\cfrac{1}{2}q_m$
$ですから \quad q_m \ が \ 56\ の倍数であればよいことになります。$
$\quad (97+56\sqrt{3})^m=p_m+56r_m\sqrt{3} \quad とすると$
\begin{eqnarray*} (97+56\sqrt{3})^{m+1} &=&(97+56\sqrt{3})^m(97+56\sqrt{3})\\ \\ &=&(p_m+56r_m\sqrt{3})(97+56\sqrt{3})\\ \\ &=&(97p_m+56^2\cdot 3r_m)+56(p_m+97r_m)\sqrt{3}\\ \\ &=&p_{m+1}+56r_{m+1}\sqrt{3}\\ \end{eqnarray*} $よって、すべての自然数 \ m\ について \quad (97+56\sqrt{3})^m=p_m+56r_m\sqrt{3} \quad の形の数になりましたので$
$q_m \ は必ず \ 56\ の倍数になり、したがって、c_{2m} \ \ は \ 28\ の倍数になります。$
$出題者は裏でこのようなことを考えていたのでしょうか。$
メインメニュー に戻る