北海道大学(理系) 2021年 問題3
$正の整数 \ x,\ y\ が、方程式 \ \ \cfrac{9^{4x}+9^{y^2+1}}{6}=3^{4x+y^2} \ \ \cdots \ \ (*)$
$を満たすとする。$
$\quad (1)\ \ y^2\ を \ x\ を用いて表せ。$
$\quad (2)\ \ 正の実数 \ x,\ y\ が(*)および \ \ 1-\cfrac{x}{y} > 0 \ \ をみたしながら動くとき、$
$\hspace{4em} \cfrac{1}{\log _{\scriptsize{1+\dfrac{x}{y}}} 4} + \cfrac{1}{\log _{\scriptsize{1-\dfrac{x}{y}}} 4} \ \ の最大値を求めよ。$
$(解説)$
$(1)\ \ 底を \ 3\ でそろえます。指数はうまく置き換えて見やすくします。$
$(2)\ \ 底は変換し、4\ でそろえ、(1)をつかいます。最大値を求めるのに微分法をつかうほどではありません。$
$\qquad 相加・相乗平均の不等式をつかいましょう。$
(1)
$\quad \cfrac{9^{4x}+9^{y^2+1}}{6}=3^{4x+y^2}\quad より \quad 3^{8x}+3^{2y^2+2}=6\cdot 3^{4x+y^2}$
$\quad 3^{4x}=X,\quad 3^{y^2}=Y \quad とおくと \quad X^2+9Y^2=6XY$
$\quad (X-3Y)^2=0 \qquad \therefore \ \ Y=\cfrac{X}{3}$
$\quad 3^{y^2}=\cfrac{3^{4x}}{3}=3^{4x-1}$
$\quad \therefore \ \ y^2=4x-1$
(2)
\begin{eqnarray*} & &\cfrac{1}{\log _{\scriptsize{1+\dfrac{x}{y}}} 4} + \cfrac{1}{\log _{\scriptsize{1-\dfrac{x}{y}}} 4}\\ \\ &=&\log _4\big(1+\cfrac{x}{y}\big) + \log _4\big(1-\cfrac{x}{y}\big)\\ \\ &=&\log _4\big(1+\cfrac{x}{y}\big)\big(1-\cfrac{x}{y}\big)\\ \\ &=&\log _4\big(1-\cfrac{x^2}{y^2}\big)\\ \\ &=&\log _4\big(1-\cfrac{x^2}{4x-1}\big)\\ \\ &=&\log _4\big\{1-\big(\cfrac{1}{4}x+\cfrac{1}{16}+\cfrac{1}{16(4x-1)}\big)\big\}\\ \\ &=&\log _4 \cfrac{1}{16}\big(15-4x-\cfrac{1}{4x-1}\big)\\ \\ &=&\log _4 \cfrac{1}{16}\big\{14-\big(4x-1+\cfrac{1}{4x-1}\big)\big\}\\ \end{eqnarray*}
$\quad (1)の \ \ y^2=4x-1 \quad より \quad 4x-1 >0 \quad だから 相加・相乗平均の不等式より$
$\qquad 4x-1+\cfrac{1}{4x-1} \geqq 2\sqrt{(4x-1) \times \cfrac{1}{4x-1}}=2$
$\quad 等号は 4x-1=\cfrac{1}{4x-1} \qquad (4x-1)^2=1 \quad のときで、これを解いて \quad x=\cfrac{1}{2}$
$\quad このとき \quad y^2=4 \times \cfrac{1}{2}-1=1 \quad y > 0 \quad だから \quad y=1$
$\quad よって$
\begin{eqnarray*} & &\cfrac{1}{\log _{\scriptsize{1+\dfrac{x}{y}}} 4} + \cfrac{1}{\log _{\scriptsize{1-\dfrac{x}{y}}} 4}\\ \\ &\leqq&\log _4 \cfrac{1}{16} (14-2)\\ \\ &=&\log _4 \cfrac{3}{4}\\ \\ &=&\log _4 3 -1\\ \\ &=&\cfrac{\log _2 3}{\log _2 4} -1\\ \\ &=&\cfrac{1}{2}\log _2 3 -1\\ \end{eqnarray*} $\quad したがって 最大値は \quad x=\cfrac{1}{2},\quad y=1 \quad のとき \quad \cfrac{1}{2}\log _2 3 -1$
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