北海道大学(理系) 2020年　問題5


$aを正の定数とする。微分可能な関数f(x)はすべての実数xに対して次の条件を満たしているとする。$
\[0 < f(x) <1,\quad \int _0^x \cfrac{f'(t)}{\{1-f(t)\}f(t)}dt=ax\] $さらに、f(0)=\cfrac{1}{3} \ であるとする。$
$\quad (1)\ \ f(x)を求めよ。$
$\quad (2)\ \ 曲線y=f(x)とx軸および2直線 \ x=0,\ x=1\ で囲まれる図形の面積S(a)を求めよ。$
\[さらに、\lim _{a \rightarrow +0} S(a)\ を求めよ。\]


$(解説)$

$(1)は変数分離形の微分方程式を解く問題ですが、数学Ⅲでまた扱うようになったのは知りませんでした。$
$\hspace{1em} 入試問題で微分方程式を解くのは数十年振りのことで、懐かしさもあって採り上げてしまいました。$
$(2)の不定形の極限値はうまく処理しなくてはなりません。苦し紛れにロピタルの定理を使うことなかれ。$
$\hspace{1em} もっとも、ここは昔から意見が分かれるところです。採点者がどう判断するかです$

(1)


$両辺をxで微分すると \qquad \cfrac{f'(x)}{\{1-f(x)\}f(x)}=a \qquad f'(x)=a\{1-f(x)\}f(x)$

$y=f(x)\ \ とおくと \qquad \cfrac{dy}{dx}=a(1-y)y$

$0 < y < 1 \ \ だから \qquad (1-y)y \ne 0$

$\cfrac{dy}{(1-y)y}=adx \qquad (\cfrac{1}{1-y}+\cfrac{1}{y})dy=adx$

$積分して \qquad -\log (1-y)+\log y=ax+C_1$

$\log \cfrac{y}{1-y}=ax+C_1 \qquad \cfrac{y}{1-y}=e^{ax+C_1}=e^{C_1}e^{ax}$

$C_2=e^{C_1} \quad とおくと \qquad \cfrac{y}{1-y}=C_2e^{ax}$

$\cfrac{1}{C_2}=C \quad とおくと \qquad \cfrac{1-y}{y}=Ce^{-ax}$

$\cfrac{1}{y}-1=Ce^{-ax} \qquad \cfrac{1}{y}=1+Ce^{-ax}$

$\therefore y=\cfrac{1}{1+Ce^{-ax}}$

$x=0 \ \ のとき \ \ 　y=\cfrac{1}{3}\ \ だから \qquad \cfrac{1}{3}=\cfrac{1}{1+C} \quad \therefore C=2$

$よって　y=f(x)=\cfrac{1}{1+2e^{-ax}}=\cfrac{e^{ax}}{2+e^{ax}}$


(2)

　
$y'=\cfrac{2ae^{-ax}}{(1+2e^{-ax})^2} > 0 \ \ だから \ \ y\ は単調増加である。$

$x \rightarrow +\infty \ \ のとき \quad e^{-ax} \rightarrow 0 \ \ だから \quad y \rightarrow 1$

$x \rightarrow -\infty \ \ のとき \quad 　y \rightarrow 0$

$グラフは右図のとおり$

\[S(a)=\int _0^1\cfrac{e^{ax}}{2+e^{ax}}dx \quad だから\] $\qquad 2+e^{ax}=t \ \ とおくと \quad ae^{ax}dx=dt$
\[ \quad \begin{array}{c|c} x & 0\ \ \rightarrow 1 \quad \\ \hline t & \ 3 \rightarrow 2+e^a \\ \end{array} \]
\begin{eqnarray*} S(a) &=&\int _3^{2+e^a}\cfrac{1}{t}\cfrac{dt}{a}\\ &=&\cfrac{1}{a}\big[\log t \big]_3^{2+e^a}\\ &=&\cfrac{1}{a}\big\{\log (2+e^a)-\log 3\big\}\\ \end{eqnarray*}
$\qquad g(x)=\log (2+e^x) \ \ とおくと \quad g'(x)=\cfrac{e^x}{2+e^x}$
\begin{eqnarray*} \lim _{a \rightarrow +0} S(a) &=&\lim _{a \rightarrow +0}\cfrac{1}{a}\big\{\log (2+e^a)-\log 3\big\}\\ &=&\lim _{a \rightarrow +0}\cfrac{\log (2+e^a)-\log(2+e^0)}{a-0}\\ &=&\lim _{a \rightarrow +0}\cfrac{g(a)-g(0)}{a-0}\\ &=&g'(0)\\ &=&\cfrac{e^0}{2+e^0}\\ &=&\cfrac{1}{3}\\ \end{eqnarray*}

$(研究)$

$y=\cfrac{1}{1+Ce^{-ax}} \ \ で \quad x=0 \ \ のとき \ \ 　y=A \ \ (0 < A < 1)\ \ とすると$

$A=\cfrac{1}{1+C} \quad \therefore C=\cfrac{1}{A}-1>0$

$y=f(x)=\cfrac{1}{1+Ce^{-ax}}=\cfrac{e^{ax}}{C+e^{ax}}$
\[S(a)=\int _0^1\cfrac{e^{ax}}{C+e^{ax}}dx\] $\qquad C+e^{ax}=t \ \ とおくと \quad ae^{ax}dx=dt$
\[ \quad \begin{array}{c|c} x & 0\ \ \rightarrow 1 \quad \\ \hline t & \ C+e^0 \rightarrow C+e^a \\ \end{array} \]
\[S(a)=\cfrac{1}{a} \int _{C+e^0}^{C+e^a}\cfrac{dt}{t}=\cfrac{1}{a}\big\{\log (C+e^a)-\log (C+e^0)\big\}\]
$\quad g(x)=\log (C+e^x) \ \ とおくと \quad 　g'(x)=\cfrac{e^x}{C+e^x}$

\begin{eqnarray*} \lim _{a \rightarrow +0} S(a) &=&\lim _{a \rightarrow +0}\cfrac{\log (C+e^a)-\log(C+e^0)}{a-0}\\ &=&\lim _{a \rightarrow +0}\cfrac{g(a)-g(0)}{a-0}\\ &=&g'(0)\\ &=&\cfrac{e^0}{C+e^0}\\ &=&\cfrac{1}{C+1}\\ \end{eqnarray*}


ページの先頭へ↑




メインメニュー　に戻る