北海道大学(理系) 2019年　問題5


$f(x)を区間 \ [0,\pi]\ で連続な関数とする。関数f_1(x),f_2(x), \cdots を関係式$
\[f_1(x)=f(x),\quad f_{n+1}(x)=2\cos x +\cfrac{2}{\pi}\int _0 ^{\pi}f_n(t)\sin (x-t)dt \quad (n=1,2,3,\cdots )\] $により定める。さらに、自然数nに対して$
\[a_n=\cfrac{2}{\pi}\int _0 ^{\pi}f_n(t)\sin t dt ,\quad b_n=\cfrac{2}{\pi}\int _0 ^{\pi}f_n(t)\cos t dt \quad とおく。\] $(1)\ \ a_{n+1},\ \ b_{n+1}\ をa_n,\ b_n\ を用いて表せ。$
$(2)\ \ c_n=a_n-1 \ とおく。このとき、c_{n+2}=-c_n \ \ が成立することを示し、一般項c_nをa_1とb_1を用いて表せ。$
$(3)\ \ a_n,b_nがnによらない定数となるようなf(x)を1つ求めよ。$


$(解説)$

$(1)\ \ f_{n+1}(x)の積分は\sin(x-t)を加法定理をつかって展開すると計算できます。ここがこの問題のポイントです。$
$(2)\ \ 数列\{c_n\}は周期数列となることを見抜きましょう。$
$(3)\ \ 出題者が要求しているかどうかはわかりませんが、十分条件の吟味も必要と思われます。$

(1)


$まず、f_{n+1}(x)を積分を含まない式に変形します。$
\begin{eqnarray*} f_{n+1}(x) &=&2\cos x +\cfrac{2}{\pi}\int _0 ^{\pi}f_n(t)\sin (x-t)dt \\ &=&2\cos x +\cfrac{2}{\pi}\int _0 ^{\pi}f_n(t)(\sin x \cos t-\cos x \sin t)dt \\ &=&2\cos x +\sin x \cdot \cfrac{2}{\pi}\int _0 ^{\pi}f_n(t) \cos tdt -\cos x \cdot \cfrac{2}{\pi}\int _0 ^{\pi}f_n(t) \sin tdt \\ &=&2\cos x +b_n \sin x -a_n \cos x \\ \\ &=&b_n \sin x +(2-a_n) \cos x \\ \end{eqnarray*} $よって$
\begin{eqnarray*} a_{n+1} &=&\cfrac{2}{\pi}\int _0 ^{\pi}f_{n+1}(t)\sin t dt\\ &=&\cfrac{2}{\pi}\int _0 ^{\pi}\{b_n \sin t +(2-a_n) \cos t \}\sin tdt\\ &=&\cfrac{2b_n}{\pi}\underbrace{\int _0 ^{\pi} \sin ^2tdt }_{\substack{下記(1)}}+ \cfrac{2(2-a_n)}{\pi}\underbrace{\int _0 ^{\pi} \cos t \sin tdt}_{\substack{下記(2)}}\\ &=&b_n \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} b_{n+1} &=&\cfrac{2}{\pi}\int _0 ^{\pi}f_{n+1}(t)\cos t dt\\ &=&\cfrac{2}{\pi}\int _0 ^{\pi}\{b_n \sin t +(2-a_n) \cos t \}\cos tdt\\ &=&\cfrac{2b_n}{\pi}\underbrace{\int _0 ^{\pi} \sin t \cos tdt }_{\substack{下記(2)}}+ \cfrac{2(2-a_n)}{\pi}\underbrace{\int _0 ^{\pi} \cos ^2 tdt}_{\substack{下記(3)}}\\ &=&2-a_n \end{eqnarray*}
$(記1)$
\[\int _0 ^{\pi} \sin ^2tdt=\int _0 ^{\pi} \cfrac{1}{2}(1-\cos 2t)dt=\cfrac{1}{2}\big[t-\cfrac{1}{2}\sin 2t\big]_0 ^{\pi} =\cfrac{\pi}{2}\]
$(記2)$
\[\int _0 ^{\pi} \cos t\ \sin tdt=\int _0 ^{\pi} \cfrac{1}{2}\sin 2tdt=-\cfrac{1}{4}\big[\cos 2t\big]_0 ^{\pi} =0\]
$(記3)$
\[\int _0 ^{\pi} \cos ^2tdt=\int _0 ^{\pi} \cfrac{1}{2}(1+\cos 2t)dt=\cfrac{1}{2}\big[t+\cfrac{1}{2}\sin 2t\big]_0 ^{\pi} =\cfrac{\pi}{2}\]

(2)


$c_n=a_n-1 \quad より$

$c_{n+2}=a_{n+2}-1=b_{n+1}-1=(2-a_n)-1=1-a_n=-c_n$

$c_3=-c_1,\quad c_4=-c_2,\quad c_5=-c_3=c_1 \quad となって以下繰り返す。$

$よって、数列\{c_n\}は \ \ c_1,\ \ c_2,\ \ -c_1,\ \ -c_2,\ \ c_1,\cdots \ \ で周期4の周期数列となる。$

$なお \quad c_1=a_1-1,\quad c_2=a_2-1=b_1-1 \ \ であるから一般項は$

$k=0,1,2,3,\cdots として$
\[ \hspace{1em} c_n= \left\{ \begin{array}{l} a_1-1 \qquad \ \ (n=4k+1)\\ b_1-1 \qquad \ \ (n=4k+2)\\ -a_1+1 \qquad (n=4k+3)\\ -b_1+1 \qquad (n=4k+4)\\ \end{array} \right. \]

(3)


$必要条件$

$a_n=p\ \ (定数)\ とすると \quad b_n=a_{n+1}=p$

$b_{n+1}=-a_n+2 \quad より \qquad 　p=-p+2 \qquad \therefore p=1$

$よって　a_n=1,\quad b_n=1$

$(1)より　f_{n+1}(x)=b_n \sin x +(2-a_n) \cos x \quad だから$

$\quad f_{n+1}(x)=\sin x + \cos x$

$右辺はnを含まないから、左辺もnによらない。$

$\quad f_{n+1}(x)=f_1(x)=f(x)$

$したがって　f(x)=\sin x+\cos x $


$十分条件$

$f(x)=\sin x+\cos x \quad とすると$

$f_1(x)=f(x)=\sin x+\cos x $

$f_k(x)=\sin x+\cos x \quad ならば$

\begin{eqnarray*} f_{k+1}(x) &=&2\cos x +\cfrac{2}{\pi}\int _0 ^{\pi}f_k(t)\sin (x-t)dt\\ &=&2\cos x +\sin x \cdot \cfrac{2}{\pi}\int _0 ^{\pi}f_k(t) \cos tdt -\cos x \cdot \cfrac{2}{\pi}\int _0 ^{\pi}f_k(t) \sin tdt \\ &=&2\cos x + \cfrac{2\sin x}{\pi}\int _0 ^{\pi}(\sin t+\cos t) \cos tdt -\cfrac{2\cos x}{\pi}\int _0 ^{\pi}(\sin t + \cos t) \sin tdt \\ &=&2\cos x + \cfrac{2\sin x}{\pi}\int _0 ^{\pi}(\sin t \cos t +\cos ^2 t )dt -\cfrac{2\cos x}{\pi}\int _0 ^{\pi}(\sin ^2 t + \cos t \sin t)dt \\ &=&2\cos x + \cfrac{2\sin x}{\pi} \times \cfrac{\pi}{2} -\cfrac{2\cos x}{\pi} \times \cfrac{\pi}{2}\\ &=&\sin x + \cos x\\ \end{eqnarray*} $数学的帰納法によりすべての自然数nについて \qquad f_n(x)=\sin x+\cos x \quad が成りたつ。$

$このとき$
\[a_n=\cfrac{2}{\pi}\int _0 ^{\pi}f_n(t)\sin t dt=\cfrac{2}{\pi}\int _0 ^{\pi}(\sin t+\cos t)\sin t dt=\cfrac{2}{\pi}\int _0 ^{\pi}(\sin ^2 t+\cos t \sin t) dt=\cfrac{2}{\pi} \times \cfrac{\pi}{2}=1\]
\[b_n=\cfrac{2}{\pi}\int _0 ^{\pi}f_n(t)\sin t dt=\cfrac{2}{\pi}\int _0 ^{\pi}(\sin t+\cos t)\cos t dt=\cfrac{2}{\pi}\int _0 ^{\pi}(\sin t \cos t +\cos ^2 t ) dt=\cfrac{2}{\pi} \times \cfrac{\pi}{2}=1\]
$確かにa_nとb_nはnによらない定数である。$



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