一橋大学 2024年　問題4


$実数 \ a,\ b\ は -1 < a < 1,\ \ -1 < b < 1\ \ を満たす。座標空間内に \ 4\ 点A(a,-1,-1),\ \ B(-1,\ b,-1),$
$C(-a,\ 1,\ 1),\ D(1,-b,\ 1)\ \ をとる。$
$(1)\ \ A,\ B,\ C,\ D\ がひし形の頂点となるとき、a\ と \ b\ の関係を表す等式を求めよ。$
$(2)\ \ a,\ b\ が(1)の等式を満たすとき、A,\ B,\ C,\ D\ を頂点とする四角形の面積の最小値を求めよ。$


(1)

　
$点AとC,BとDはそれぞれ原点に関して点対称だから$

$対角線ACとBDは互いに他を2等分しているので、$

$四角形ABCDは平行四辺形である。$

$これがひし形であるためには、対角線が互いに$

$直交する場合だから$

$\vec{OA} \perp \vec{OB}$

$(a,-1,-1) \cdot (-1,b,-1)=0$

$-a-b+1=0$

$a+b=1$


(2)

　
$OA=\sqrt{a^2+2},\quad OB=\sqrt{b^2+2}$

$ひし形 \ ABCD\ の面積を \ S\ とすると$

$S=4 \times \cfrac{1}{2} \times OA \times OB=2\sqrt{a^2+2}\sqrt{b^2+2}$

$S^2=f(a) \quad とおくと$

\begin{eqnarray*} f(a) &=&4(a^2+2)(b^2+2)\\ \\ &=&4(a^2+2)((1-a)^2+2)\\ \\ &=&4(a^2+2)(a^2-2a+3)\\ \\ &=&4(a^4-2a^3+5a^2-4a+6)\\ \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} f'(a) &=&4(4a^3-6a^2+10a-4)\\ \\ &=&8(2a^3-3a^2+5a-2)\\ \\ &=&8(a-\cfrac{1}{2})(2a^2-2a+4)\\ \\ &=&8(2a-1)(a^2-a+2)\\ \end{eqnarray*}
$a^2-a+2=(a-\cfrac{1}{2})^2+\cfrac{7}{4} >0 \quad だから$

$f'(a)=0 \quad より \quad a=\cfrac{1}{2}$

$増減表$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} a& -1 & \cdots & \dfrac{1}{2} & \cdots & 1\\ \hline f'(a)& & - & 0 & + & \\ \hline f(a)& & \searrow & 極小 & \nearrow & \\ \end{array} \]
$a=\cfrac{1}{2} \ \ のとき \ f(a)\ は極小かつ最小となる。$

$このとき \quad b=1-a=\cfrac{1}{2} \quad だから、最小値は$

$S=2\sqrt{(\dfrac{1}{2})^2+2} \times \sqrt{(\dfrac{1}{2})^2+2} =\cfrac{9}{2}$


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