一橋大学 2024年 問題3
$f(x)\ は \ x\ に関する \ 4\ 次多項式で \ 4\ 次の係数は \ 1\ である。f(x)\ は \ \ (x+1)^2\ \ で割ると \ 1\ 余り、$
$(x-1)^2\ \ で割ると \ 2\ 余る。f(x)\ を求めよ。$
$f(x)\ は\ 4\ 次式で \ 4\ 次の係数は \ 1\ だから除法の原理より$
$f(x)=(x+1)^2(x^2+ax+b)+1 =(x-1)^2(x^2+cx+d)+2 \quad とおける。$
$(x^2+2x+1)(x^2+ax+b)+1=(x^2-2x+1)(x^2+cx+d)+2$
$x^4+(a+2)x^3+(2a+b+1)x^2+(a+2b)x+b+1=x^4+(c-2)x^3+(-2c+d+1)x^2+(c-2d)x+d+2$
$これは \ x\ についての恒等式だから$
\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} a+2=c-2 \hspace{10em}(1)\\ 2a+b+1=-2c+d+1 \hspace{4.5em}(2)\\ a+2b=c-2d \hspace{9em}(3)\\ b+1=d+2 \hspace{10em}(4)\\ \end{array} \right. \]
$(1)より \quad c=a+4$
$(4)より \quad d=b-1$
$これらを(2)に代入して$
$2a+b+1=-2(a+4)+(b-1)+1 \qquad 4a=-9 \qquad a=-\cfrac{9}{4}$
$これらを(3)に代入して$
$a+2b=(a+4)-2(b-1) \qquad 4b=6 \qquad b=\cfrac{3}{2}$
$よって \quad c=\cfrac{7}{4},\quad d=\cfrac{1}{2}$
$したがって$
\begin{eqnarray*} f(x) &=&x^4+(a+2)x^3+(2a+b+1)x^2+(a+2b)x+b+1\\ \\ &=&x^4-\cfrac{1}{4}x^3-2x^2+\cfrac{3}{4}x+\cfrac{5}{2} \end{eqnarray*}
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