MY MATH NOTE

一橋大学 2024年　問題2

$a,\ b\ を実数とする。曲線 \ C:y=x^2\ \ と曲線 \ C':y=-x^2+ax+b \ \ はある点を共有しており、その点に$
$おけるそれぞれの接線は直交している。C\ と \ C'\ で囲まれた部分の面積の最小値を求めよ。$

　
$点A(\alpha , \ \alpha ^2)\ \ で \ 2\ つの接線は直交しているとすると$

$2\alpha \times (-2\alpha +a)=-1$

$4\alpha ^2-2a\alpha -1=0 \hspace{5em}②$

$①より \quad 4\alpha ^2-2a\alpha -2b=0 \quad だから係数を比べて$

$-2b=-1 \qquad b=\cfrac{1}{2}$

$したがって確かに \quad D=a^2+8b > 0 \quad となって \ C\ と \ C'\ は異なる \ 2\ 点で交わる。$

$なお、点B(\beta , \ \beta ^2)\ \ で \ 2\ つの接線の傾きの積を求めると$

\begin{eqnarray*} & &2\beta (-2\beta +a)\\ \\ &=&-4\beta ^2+2a\beta\\ \\ &=&-4(\cfrac{a}{2}-\alpha)^2+2a(\cfrac{a}{2}-\alpha)\\ \\ &=&-4\alpha ^2+2a\alpha\\ \\ &=&-1 \end{eqnarray*}
$よって \ \ 点B(\beta , \ \beta ^2)\ \ でも \ 2\ つの接線は直交している。$

　
$C\ と \ C'\ で囲まれた部分の面積 \ S \ は \ \ \beta < \alpha \ \ とすると$

\begin{eqnarray*} S &=&\int _{\beta}^{\alpha}\{(-x^2+ax+b)-x^2\}dx\\ \\ &=&\int _{\beta}^{\alpha}(-2x^2+ax+b)dx\\ \\ &=&-2\int _{\beta}^{\alpha}(x-\alpha)(x-\beta)dx\\ \\ &=&-2\int _{\beta}^{\alpha}(x-\beta +\beta -\alpha)(x-\beta)dx\\ \\ &=&-2\int _{\beta}^{\alpha}\{(x-\beta)^2 +(\beta -\alpha)(x-\beta)\}dx\\ \\ &=&-2\big[\dfrac{1}{3}(x-\beta)^3 -\dfrac{1}{2}(\alpha -\beta)(x-\beta)^2\big]_{\beta}^{\alpha}\\ \\ &=&-2\big\{\dfrac{1}{3}(\alpha-\beta)^3 -\dfrac{1}{2}(\alpha -\beta)(\alpha-\beta)^2\big\}\\ \\ &=&\cfrac{1}{3}(\alpha-\beta)^3 \\ &=&\cfrac{1}{3}(\alpha-(\cfrac{a}{2}-\alpha))^3\\ \\ &=&\cfrac{1}{3}(2\alpha-\cfrac{a}{2})^3\\ \end{eqnarray*} $ここで、②より \quad 4\alpha ^2-2a\alpha -1=0 \quad だから$

$a=\cfrac{4\alpha ^2-1}{2\alpha} \quad を代入して$

$S=\cfrac{1}{3}(2\alpha-\cfrac{4\alpha ^2-1}{4\alpha})^3=\cfrac{1}{3}(\alpha + \cfrac{1}{4\alpha})^3$

$\alpha \beta=-\cfrac{1}{4} < 0 \ \ で \ \ 　\beta < \alpha \ \ だから \ \ 　\alpha > 0$

$相加・相乗平均の不等式より \quad 　\alpha + \cfrac{1}{4\alpha} \geqq 2\sqrt{\alpha \cdot \cfrac{1}{4\alpha} }=1$

$したがって \quad S \geqq \cfrac{1}{3} \quad だから面積の最小値は \quad \cfrac{1}{3}$

$ただし等号は \quad \alpha =\cfrac{1}{4\alpha} \ \ より \ \ \alpha =\cfrac{1}{2} \ \ のとき$

　
$なおこのとき \quad a=0 , \ \ \beta=-\cfrac{1}{2}\ \ となり$

$C'=-x^2+\cfrac{1}{2} \ \ である。$

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