一橋大学 2024年 問題1
\[\sum _{k=1}^m k(n-2k)=2024 \quad を満たす正の整数の組 \ (m,\ n)\ を求めよ。\]
\begin{eqnarray*} & &\sum _{k=1}^m k(n-2k)\\ \\ &=&n\sum _{k=1}^m k -2\sum _{k=1}^m k^2\\ \\ &=&n \times \cfrac{1}{2}m(m+1)-2 \times \cfrac{1}{6}m(m+1)(2m+1)\\ \\ &=&\cfrac{1}{6}m(m+1)(3n-2(2m+1))\\ \\ &=&\cfrac{1}{6}m(m+1)(3n-4m-2)\\ \end{eqnarray*} $したがって$
$\cfrac{1}{6}m(m+1)(3n-4m-2)=2024$
$m(m+1)(3n-4m-2)=6 \times 2024$
$m(m+1)(3n-4m-2)=2^4 \times 3 \times 11 \times 23$
$ここで左辺は連続する因数\ m,\ \ m+1\ \ を持つから、右辺で連続する \ 2\ 数をさがすと$
(i)$\ \ 1,\ \ 2\ \ (m=1)\ の場合 \quad 3n-4 \times 1-2=2^3 \times 3 \times 11 \times 23 \quad より \quad n=2026$
(i)$\ \ 2,\ \ 3\ \ (m=2)\ の場合 \quad 3n-4 \times 2-2=2^3 \times 11 \times 23 \quad より \quad n=678$
(iii)$\ \ 3,\ \ 4\ \ (m=3)\ の場合 \quad 3n-4 \times 3-2=2^2 \times 11 \times 23 \quad より \quad n=342$
(iv)$\ \ 11,\ \ 12\ \ (m=11)\ の場合 \quad 3n-4 \times 11-2=2^2 \times 23 \quad より \quad n=46$
(v)$\ \ 22,\ \ 23\ \ (m=22)\ の場合 \quad 3n-4 \times 22-2=2^3 \times 3 \quad より \quad n=38$
(vi)$\ \ 23,\ \ 24\ \ (m=23)\ の場合 \quad 3n-4 \times 23-2=2 \times 11 \quad を満たす整数 \ n\ はない$
$以上より、求める正の整数の組 \ (m,\ n)\ は \ \ (1,\ 2026),\ \ (2,\ 678),\ \ (3,\ 342),\ \ (11,\ 46),\ \ (22,38)$
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