一橋大学 2023年　問題4


$xy\ 平面上で、x\ 座標と \ y\ 座標がともに正の整数であるような各点に、下の図のような番号をつける。$
$点(m,\ n)\ につけた番号を \ f(m,\ n)\ とする。たとえば、f(1,\ 1)=1,\ \ f(3,\ 4)=19\ である。$
$\hspace{5em}$ 　
$(1)\ \ f(m,\ n)+f(m+1,\ n+1)=2f(m,\ n+1) \ \ が成り立つことを示せ。$
$(2)\ \ f(m,\ n)+f(m+1,\ n)+f(m,\ n+1)+f(m+1,\ n+1)=2023 \ \ となるような整数の組 \ (m,\ n)\ を求めよ。$


(1)


$番号 \ f(m,n)\ の \ 1\ つ前は \ f(m+1,\ n-1),\ 2\ つ前は \ f(m+2,\ n-2),\ \cdots , \ (n-1)\ 前は \ f(m+n-1,\ 1)\ である。$

$n=1\ の場合の数列 \ \{a_n\}: 1,\ 2,\ 4,\ 7,\ 11,\ 16,\ \cdots \ \ についてその階差をとると$

　

\[a_m=1+\sum_{l=1}^{m-1} l=1+\cfrac{m(m-1)}{2}=\cfrac{1}{2}(m^2-m)+1\]
$したがって$

$\quad f(m+n-1,\ 1)=a_{m+n-1}=\cfrac{1}{2}\{(m+n-1)^2-(m+n-1)\}+1 \quad だから$

$\quad f(m,\ n)=f(m+n-1,\ 1)+n-1=\cfrac{1}{2}\{(m+n-1)^2-(m+n-1)\}+n$

$よって$
\begin{eqnarray*} & &f(m,n)+f(m+1,n+1)\\ \\ &=&\cfrac{1}{2}\{(m+n-1)^2-(m+n-1)\}+n + \cfrac{1}{2}\{(m+n+1)^2-(m+n+1)\}+n+1\\ \\ &=&\cfrac{1}{2}\{(m+n-1)^2+(m+n+1)^2-(m+n-1)-(m+n+1)\}+2n+1\\ \\ &=&\cfrac{1}{2}\{2(m+n)^2-2(m+n)\}+2n+2\\ \\ &=&2\big\{\cfrac{1}{2}\{(m+n)^2-(m+n)\}+n+1\big\}\\ \\ &=&2f(m,\ n+1) \end{eqnarray*}

(2)


　

$点A:f(m,\ n),\ \ B:f(m+1,\ n),\ \ C:f(m,\ n+1),\ \ D(m+1,n+1)\quad とおくと$

\begin{eqnarray*} AB &=&f(m+1,\ n)-f(m,\ n)\\ \\ &=&\cfrac{1}{2}\{(m+n)^2-(m+n)\}+n\\ & & \hspace{2em} - \cfrac{1}{2}\{(m+n-1)^2-(m+n-1)\}-n\\ \\ &=&\cfrac{1}{2}\{(m+n)^2-(m+n-1)^2-1\}\\ \\ &=&m+n-1\\ \end{eqnarray*}
$よって \quad B:f(m+1,\ n)=f(m,\ n)+ m+n-1$

$点 \ C\ は点 \ D\ の次の数だから \quad C:f(m,\ n+1)=f(m+1,\ n)+1=f(m,\ n)+m+n$

$点 \ D\ については、(1)より \quad f(m,\ n)+f(m+1,\ n+1)=2f(m,\ n+1) \quad だから$

$f(m+1,\ n+1)-f(m,\ n+1)=f(m,\ n+1)-f(m,\ n)$

\begin{eqnarray*} CD &=&f(m+1,\ n+1)-f(m,\ n+1)\\ \\ &=&f(m,\ n+1)-f(m,\ n)\\ \\ &=&AC\\ \\ &=&\{f(m,\ n)+m+n\}-f(m,\ n)\\ \\ &=&m+n \end{eqnarray*} $よって \quad D:f(m+1,\ n+1)=f(m,\ n+1)+m+n =f(m,\ n)+2(m+n)$

$以上より$
\begin{eqnarray*} & &f(m,\ n)+f(m+1,\ n)+f(m,\ n+1)+f(m+1,\ n+1)\\ \\ &=&f(m,\ n)+(f(m,\ n)+m+n-1)+(f(m,\ n)+m+n)+(f(m,\ n)+2(m+n))\\ \\ &=&4f(m,\ n)+4(m+n)-1 \end{eqnarray*}
$したがって$

$4f(m,\ n)+4(m+n)-1=2023 \quad を求めればよい。$

\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} f(m,\ n)+m+n=506 \hspace{13em}①\\ f(m,\ n)=\cfrac{1}{2}\{(m+n-1)^2-(m+n-1)\}+n \hspace{3em}②\\ \end{array} \right. \]
$この \ 2\ 次不定方程式を解けばよいから$

$f(m,\ n)=p, \quad m+n=q \quad とおくと$

$①は \quad p+q=506 \hspace{11em}③$

$②は \quad p=\cfrac{1}{2}\{(q-1)^2-(q-1)\}+n \hspace{3em}④$

$③より \quad p=506 -q \quad を④に代入して$

$2(506-q)=(q-1)^2-(q-1)+2n$

$q^2-q+2n-1010=0$

$q=\cfrac{1+\sqrt{D}}{2} \quad ただし \quad D=1-4(2n-1010)=4041-8n$

$q\ は整数だから \quad D=k^2\ \ (k\ は整数)\ \ とおける。このとき \quad q=\cfrac{1+k}{2} \quad ただし \ q\ は整数だから \ k\ は奇数$

$4041-8n=k^2 \quad より \quad n=\cfrac{4041-k^2}{8}$

$m+n=q \quad より \quad m=q-n \geqq 1 $

$\cfrac{1+k}{2}-\cfrac{4041-k^2}{8} \geqq 1$

$4(1+k)-(4041-k^2) \geqq 8$

$k^2+4k-4045 \geqq 0$

$k \geqq -2+\sqrt{4+4045}=-2+\sqrt{4049}$

$また \quad n=\cfrac{4041-k^2}{8} \geqq 1 \quad より \quad k^2 \leqq 4033 \qquad k \leqq \sqrt{4033}$

$したがって \quad -2+\sqrt{4049} \leqq k \leqq \sqrt{4033}$

$63^2=3969,\ \ 64^2=4096 \quad より \quad 63 < \sqrt{4049} < 64 ,\quad 63 < \sqrt{4033} < 64$

$ 61 < k < 64 \qquad これを満たす奇数は \quad k=63$

$よって \quad q=32,\ \ n=9,\ \ m=23 ,\ \ p=474 \ \ と順に求まり、(m,\ n)=(23,\ 9)$


$(感想)$

$文系の大学ですが、理系の学部の問題としてもかなり難度の高い問題です。制限時間内に解けた受験者が$
$何人いたか知りたいものです。$


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