一橋大学 2023年　問題3


$原点を \ O\ とする座標空間内に \ 3\ 点 \ A(-3,\ 2,\ 0),\ B(1,\ 5,\ 0),\ C(4,\ 5,\ 1)\ がある。P\ は \ \ |\vec{PA}+3\vec{PB}+2\vec{PC}| \leqq 36$
$ \ \ を満たす点である。4\ 点 \ O,\ A,\ B,\ P\ が同一平面上にないとき、四面体 \ OABP\ の体積の最大値を求めよ。$

　

$|\vec{PA}+3\vec{PB}+2\vec{PC}| \leqq 36 \quad より$

$|(\vec{OA}-\vec{OP})+3(\vec{OB}-\vec{OP})+2(\vec{OC}-\vec{OP})| \leqq 36 $

$|(\vec{OA}+3\vec{OB} + 2\vec{OC}-6\vec{OP}| \leqq 36 $

$\vec{OP}=(x,\ y,\ z)\ \ とおくと$

$|(-3,\ 2,\ 0) + 3(1,\ 5,\ 0) + 2(4,\ 5,\ 1) -6(x,\ y,\ z)| \leqq 36 $

$|(8-6x,\ 27-6y,\ 2-6z)| \leqq 36 $

$|x-\cfrac{4}{3},\ y-\cfrac{9}{2},\ z-\cfrac{1}{3}| \leqq 6 $

$(x-\cfrac{4}{3})^2+(y-\cfrac{9}{2})^2+(z-\cfrac{1}{3})^2 \leqq 36 $

$よって、点 \ P\ は中心 \ (\cfrac{4}{3}, \ \cfrac{9}{2}, \ \cfrac{1}{3}) ,\ \ 半径 \ 6\ の球面およびその内部にある。$

　

$四面体 \ OABP\ の底面を\ xy平面上の \ \triangle OAB\ と考えた場合その底面積は$

\begin{eqnarray*} \triangle OAB &=&長方形 \ CDBE - (\triangle OAC +\triangle OBD +\triangle ABE)\\ \\ &=&4 \times 5 -\cfrac{1}{2}(3 \times 2 + 1 \times 5 + 4 \times 3)\\ \\ &=&\cfrac{17}{2} \end{eqnarray*} $四面体 \ OABP\ の体積 \ V\ は$

$V=\cfrac{1}{3} \times \triangle OAB \times \ (点\ Pの \ z\ 座標)\ \ だから$

$V\ の最大は点 \ P\ の \ z\ 座標が最大のときで、\max(z)=\cfrac{1}{3}+6=\cfrac{19}{3}$

$よって四面体 \ OABP\ の体積の最大値は$

$V=\cfrac{1}{3} \times \cfrac{17}{2} \times \cfrac{19}{3}=\cfrac{323}{18}$


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