一橋大学 2023年　問題2


$a\ を正の実数とする。2\ つの曲線 \ C_1:y=x^3+2ax^2\ \ および \ \ C_2:y=3ax^2-\cfrac{3}{a}\ \ の両方に接する直線が$
$存在するような \ a\ の範囲を求めよ。$

　

$C_1\ 上の接点を \ P(t,\ t^3+2at^2)\ \ とおくと、$

$この点における接線は$
\begin{eqnarray*} y &=&(3t^2+4at)(x-t)+t^3+2at^2\\ \\ &=&(3t^2+4at)x-2t^3-2at^2\\ \end{eqnarray*}
$これが \ C_2\ にも接するから$

$3ax^2-\cfrac{3}{a}=(3t^2+4at)x-2t^3-2at^2$

$3ax^2-(3t^2+4at)x+2t^3+2at^2- \cfrac{3}{a}=0$

$は重解をもつ。$

$D=(3t^2+4at)^2-12a(2t^3+2at^2- \cfrac{3}{a})=0$

$9t^4-8a^2t^2+36=0$

$t^2=u \quad とおくと \quad u \geqq 0$

$9u^2-8a^2u+36=0$

$これを満たす実数 \ u \ (u \geqq 0)\ \ が存在する条件は$

$f(u)=9u^2-8a^2u+36 \quad とおくと$

　

(i)$\ \ 判別式 \ \ D \geqq 0$

$\quad \cfrac{D}{4}=(4a^2)^2-9 \times 36 \geqq 0$

$\quad 4a^4-9^2 \geqq 0$

$\quad (2a^2-9)(2a^2+9) \geqq 0$

$\quad 2a^2+9 > 0 \quad だから \quad 2a^2-9 \geqq 0$

$\quad (\sqrt{2}a-3)(\sqrt{2}a+3) \geqq 0$

$\quad \sqrt{2}a+3 > 0 \quad だから \quad \sqrt{2}a -3 \geqq 0$

$\quad a \geqq \cfrac{3\sqrt{2}}{2}$

(ii)$\ \ 軸\ について$

$\quad u=\cfrac{4a^2}{9} \quad はすべての実数 \ a\ で \ \ u > 0$

(iii)$\ \ 端点の値 \ \ f(0)\ について$

$\quad f(0)=36 >0 $

$よって求める\ a\ の範囲は \quad a \geqq \cfrac{3\sqrt{2}}{2} $


$(補充)$

(i)$\ \ a > \cfrac{3\sqrt{2}}{2}\quad のとき$

$\quad 　9u^2-8a^2u+36=0 \quad は異なる \ 2\ つの正の実数解 \ u_1,\ u_2\ をもち$

$\quad t_1=\sqrt{u_1},\quad t_2=- \sqrt{u_1},\quad t_3=\sqrt{u_2},\quad t_4=- \sqrt{u_2}\ \ が得られるから接点は \ 4\ 個ある。$

$\quad 上の図は、a=3\ の場合で、9u^2-72u+36=0 \quad を解いて \quad u=4 \pm 2\sqrt{3}=(\sqrt{3} \pm 1)^2 \quad だから$

$\quad t=\pm (\sqrt{3} \pm 1) \quad となり、このうちの 接点 \ A: \ \ t=\sqrt{3}-1\ \ と接点 \ B: \ \ t=-\sqrt{3}+1 \ \ の接線を描いたものである。$

(ii)$\ \ a =\cfrac{3\sqrt{2}}{2} \quad のとき$

$\quad 9u^2-8a^2u+36=0 \quad は重解 \quad u=2 \ \ をもち、t_1=\sqrt{2},\quad t_2=- \sqrt{2} \quad が得られるから接点は \ 2\ 個でる。$


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