一橋大学 2023年 問題1
$n\ を \ 2\ 以上 \ 20\ 以下の整数、k\ を 1\ 以上 \ n-1\ 以下の整数とする。$
$\hspace{5em} {}_{n+2}C_{k+1}=2({}_nC_{k-1} +{}_nC_{k+1})$
$が成り立つような整数の組 \ (n,\ k)\ を求めよ。$
$組合せ記号の定義から \quad n+2 \geqq k+1,\quad n \geqq k-1,\quad n \geqq k+1 \quad だから \quad n \geqq k+1$
${}_{n+2}C_{k+1}=2({}_nC_{k-1} +{}_nC_{k+1}) \quad より$
$\cfrac{(n+2)!}{(k+1)!(n+2-k-1)!}=2\big(\cfrac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!} + \cfrac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}\big)$
$両辺に \quad (k+1)!(n-k+1)! \quad をかけて$
$(n+2)!=2\big(n!(k+1)k + n!(n-k+1)(n-k)\big)$
$両辺を \ \ n! \ \ で割って$
$(n+2)(n+1)=2((k+1)k + (n-k+1)(n-k))$
$n^2+3n+2=2(n^2-2nk+2k^2+n)$
$n^2-4nk+4k^2-n-2=0$
$(n-2k)^2=n+2$
$n+2 \ \ は平方数だから \quad 4 \leqq n+2 \leqq 22 \quad より \quad n+2=4,\ 9,\ 16$
$よって \quad n=2,\ \ 7,\ \ 14$
(i)$\ \ n=2 \ \ のとき \quad (2-2k)^2=4 \qquad 2-2k=\pm 2 \qquad k \ne 0 \quad だから \quad k=2$
(ii)$\ \ n=7 \ \ のとき \quad (7-2k)^2=9 \qquad 7-2k=\pm 3 \qquad k=2,\ \ 5$
(iii)$\ \ n=14 \ \ のとき \quad (14-2k)^2=16 \qquad 14-2k=\pm 4 \qquad k=5,\ \ 9$
$以上より \quad n \geqq k+1 \ \ を満たす組は$
$(n,\ k)=(7,\ 2),\ \ (7,\ 5),\ \ (14,\ 5),\ \ (14,\ 9)$
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