MY MATH NOTE

一橋大学 2022年　問題5

$中身の見えない \ 2\ つの箱があり、1\ つの箱には赤玉 \ 2\ つと白玉 \ 1\ つが入っており、もう1\ つの箱には$
$赤玉 \ 1\ つと白玉 \ 2\ つが入っいる。どちらかの箱を選び、選んだ箱の中から玉を \ 1\ つ取り出して元に戻す、$
$という操作を繰り返す。$
$(1)\ \ 1\ 回目は箱を無作為に選び、2\ 回目以降は、前回取り出した玉が赤玉なら前回と同じ箱、前回取り$
$\quad 出した玉が白玉なら前回とは異なる箱を選ぶ。n\ 回目に赤玉を取り出す確率 \ p_n\ を求めよ。$
$(2)\ \ 1\ 回目は箱を無作為に選び、2\ 回目以降は、前回取り出した玉が赤玉なら前回と同じ箱、前回取り$
$\quad 出した玉が白玉なら箱を無作為に選ぶ。n\ 回目に赤玉を取り出す確率 \ q_n\ を求めよ。$

(1)

　
$n \geqq 2 \ \ のとき \ \ n\ 回目に箱 \ A\ が選ばれる確率 \ r_n\ は$

(i)$\ \ (n-1)\ 回目に\ \ 確率 \ r_{n-1}\ で箱 \ A\ が選ばれて、その箱から$

$\quad 赤玉が取り出される確率は \qquad r_{n-1} \times \cfrac{2}{3}$

(ii)$\ \ (n-1)回目に\ \ 確率 \ 1-r_{n-1}\ で箱 \ B\ が選ばれて、その箱から$

$\quad 白玉が取り出される確率は \qquad (1-r_{n-1}) \times \cfrac{2}{3}$

(i),(ii)$ \ \ は互いに排反事象だから$

$\qquad r_n=r_{n-1} \times \cfrac{2}{3}+(1-r_{n-1}) \times \cfrac{2}{3}=\cfrac{2}{3}\ \ (一定)$

　
$したがって \ n\ 回目に赤玉を取り出す確率 \ p_n\ は$

$\quad p_1=\cfrac{1}{2} \times \cfrac{2}{3} + \cfrac{1}{2} \times \cfrac{1}{3}=\cfrac{1}{2}$

$\quad n \geqq 2 \quad のとき \quad p_n=\cfrac{2}{3} \times \cfrac{2}{3} + (1-\cfrac{2}{3}) \times \cfrac{1}{3}=\cfrac{5}{9}$

(2)

　
$n \geqq 2 \ \ のとき \ \ n\ 回目に箱 \ A\ が選ばれる確率 \ r_n\ は$

(i)$\ \ (n-1)\ 回目に\ \ 確率 \ r_{n-1}\ で箱 \ A\ が選ばれて、その箱から$

$\quad 赤玉が取り出される確率は \qquad r_{n-1} \times \cfrac{2}{3}$

(ii)$\ \ (n-1)回目に\ \ 確率 \ r_{n-1}\ で箱 \ A\ が選ばれて、その箱から$

$\quad 白玉が取り出されて、箱\ A\ が選ばれる確率は \qquad r_{n-1} \times \cfrac{1}{3} \times \cfrac{1}{2}$

(iii)$\ \ (n-1)回目に\ \ 確率 \ 1-r_{n-1}\ で箱 \ B\ が選ばれて、その箱から$

$\quad 白玉が取り出されて、箱 \ A\ が選ばれる確率は \qquad (1-r_{n-1}) \times \cfrac{2}{3} \times \cfrac{1}{2}$

(i),(ii),(iii)$ \ \ は互いに排反事象だから、n\ 回目に箱 \ A\ が選ばれる確率 \ r_n\ は$

$\qquad r_n=r_{n-1} \times \cfrac{2}{3}+ r_{n-1} \times \cfrac{1}{3} \times \cfrac{1}{2}+ (1-r_{n-1}) \times \cfrac{2}{3} \times \cfrac{1}{2}=\cfrac{1}{2}r_{n-1}+\cfrac{1}{3}$

$特性方程式 \quad t=\cfrac{1}{2}t+\cfrac{1}{3}\quad を解いて \quad t=\cfrac{2}{3}$

$辺々引いて \quad r_n-t=\cfrac{1}{2}(r_{n-1}-t) \quad より \quad r_n-\cfrac{2}{3}=\cfrac{1}{2}(r_{n-1}-\cfrac{2}{3}) $

$r_n=\cfrac{2}{3}+(r_1-\cfrac{2}{3})\big(\cfrac{1}{2}\big)^{n-1}=\cfrac{2}{3}+(\cfrac{1}{2}-\cfrac{2}{3})\big(\cfrac{1}{2}\big)^{n-1}$

$\therefore r_n=\cfrac{2}{3}-\cfrac{1}{6}\big(\cfrac{1}{2}\big)^{n-1}$

$したがって \quad n\ 回目に赤玉を取り出す確率 \ q_n\ は$

$q_1=p_1=\cfrac{1}{2}$

　
$n \geqq 2 のとき $
\begin{eqnarray*} q_n &=&r_n \times \cfrac{2}{3} + (1-r_n) \times \cfrac{1}{3}\\ \\ &=&\cfrac{1}{3}r_n + \cfrac{1}{3}\\ \\ &=&\cfrac{1}{3}\big\{\cfrac{2}{3}-\cfrac{1}{6}\big(\cfrac{1}{2}\big)^{n-1}\big\}+ \cfrac{1}{3}\\ \\ &=&\cfrac{5}{9} -\cfrac{1}{9}\big(\cfrac{1}{2}\big)^n\\ \end{eqnarray*} $ここで、n=1 \quad とおくと、右辺=\cfrac{5}{9} -\cfrac{1}{9} \times \cfrac{1}{2}=\cfrac{1}{2}=q_1 \quad だから$

$すべての自然数 \ n\ について \quad q_n=\cfrac{5}{9} -\cfrac{1}{9}\big(\cfrac{1}{2}\big)^n$

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