一橋大学 2022年　問題3


$次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 実数 \ x,\ y\ について、「|x-y| \leqq x+y」\ \ であることの必要十分条件は \ 「x \geqq 0 \ \ かつ \ \ y \geqq 0」$
$\quad であることを示せ。$
$(2)\ \ 次の不等式で定まる \ xy\ 平面上の領域を図示せよ。$
$\hspace{3em} |1+y-2x^2-y^2| \leqq 1-y-y^2$


$(解説)$

$(1)\ \ 必要条件は左辺の絶対値記号をはずします。$
$(2)\ \ (1)の \ x,\ y\ に相当する式を \ p,\ q\ とおいて \ p,\ q\ を求めます。$


(1)


$(Ⅰ) \quad |x-y| \leqq x+y \Longrightarrow \ \ x \geqq 0 \ \ かつ \ \ y \geqq 0 \quad の証明\ \ (必要条件)$

$\quad $(i)$\ \ x \geqq y \quad のとき$

$\qquad |x-y|=x-y \quad だから \quad x-y \leqq x+y $

$\qquad 2y \geqq 0 \qquad \therefore \ \ y \geqq 0$

$\qquad このとき \quad x \geqq y \geqq 0 \quad だから \quad x \geqq 0$

$\quad $(ii)$\ \ x \leqq y \quad のとき$

$\qquad |x-y|=y-x \quad だから \quad y-x \leqq x+y $

$\qquad 2x \geqq 0 \qquad \therefore \ \ x \geqq 0$

$\qquad このとき \quad y \geqq x \geqq 0 \quad だから \quad y \geqq 0$

$\quad よって \quad $(i),(ii)$\ \ それぞれの場合について \quad x \geqq 0 \quad かつ \quad y \geqq 0$


$(Ⅱ) \quad |x-y| \leqq x+y \Longleftarrow \ \ x \geqq 0 \ \ かつ \ \ y \geqq 0 \quad の証明 \ \ (十分条件)$

$\quad $(i)$\ \ y \geqq 0 \quad より \quad -y \leqq y \quad の両辺に \ x\ を加えて \quad x-y \leqq x+y $

$\quad $(ii)$\ \ x \geqq 0 \quad より \quad -x \leqq x \quad の両辺に \ y\ を加えて \quad y-x \leqq x+y $

$\quad $(i),(ii)$\ \ より \quad |x-y| \leqq x+y$


(2)


$(1)の \ x,\ y\ に相当する式を \ p,\ q\ とおくと$
\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} p-q=1+y-2x^2-y^2 \\ p+q=1-y-y^2 \\ \end{array} \right. \]
$これを解いて \quad p=1-x^2-y^2,\quad q=x^2-y$

$よって 与えられた式は$

$\quad |(1-x^2-y^2)-(x^2-y)| \leqq (1-x^2-y^2)+(x^2-y)$

$これを満たす \ x,\ y\ は(1)より$

　
\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} 1-x^2-y^2 \geqq 0 \\ x^2-y \geqq 0 　　\\ \end{array} \right. \] $すなわち$
\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} x^2+y^2 \leqq 1 \\ y \leqq x^2 \\ \end{array} \right. \] $求める領域は右図のとおりで、境界を含む。$






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