一橋大学 2022年 問題1
$2^a3^b +2^c3^d=2022 \ \ を満たす \ 0\ 以上の整数 \ a,\ b,\ c,\ d\ の組を求めよ。$
$(解説)$
$\ \ 2022 \ \ を素因数分解するとともに、左辺をどうにかして積の形に変形します。$
$設問の対称性から \quad a \geqq c \quad として考える。$
$2^c(2^{a-c}3^b+3^d)=2022=2 \times 3 \times 337$
$337\ \ は \ \ \sqrt{337}=18.3 \ \ 以下のどの素数でも割りきれないので素数であるから、これは素因数分解である。$
$よって \quad c=1$
$したがって \quad 2^{a-1}3^b+3^d=3 \times 337$
$(1)\ \ b \geqq d \quad のとき$
$ \quad 3^d(2^{a-1}3^{b-d} + 1)= 3 \times 337 \quad より \quad d=1$
$ \quad 2^{a-1}3^{b-1} + 1= 337$
$ \quad 2^{a-1}3^{b-1} = 336=2^4 \times 3 \times 7$
$ \quad 左辺は因数 \ 7\ を持たないのでこれは不可$
$(2)\ \ b < d \quad のとき$
$ \quad 3^b(2^{a-1} + 3^{d-b} )= 3 \times 337 \quad より \quad b=1$
$ \quad 2^{a-1}+ 3^{d-1}= 337$
$ \quad 2^{a-1}=337-3^{d-1}$
$ \quad 左辺は \ 2\ の累乗だから \ d\ に順次値を代入して右辺が \ 2\ の累乗になるものを探す。$
$\quad なお、2^5=32,\quad 2^6=64,\quad 2^7=128,\quad 2^8=256, \quad 2^9=512 \quad です。$
(i)$\ \ d=1\ \ のとき \quad 337-1=336 \quad は不可$
(ii)$\ \ d=2\ \ のとき \quad 337-3=334 \quad は不可$
(iii)$\ \ d=3\ \ のとき \quad 337-3^2=328 \quad は不可$
(iv)$\ \ d=4\ \ のとき \quad 337-3^3=310 \quad は不可$
(v)$\ \ d=5\ \ のとき \quad 337-3^4=256=2^8 \quad よって \quad a=9$
(vi)$\ \ d=6\ \ のとき \quad 337-3^5=94 \quad は不可$
(vii)$\ \ d \geqq 7\ \ のとき \quad 337 <3^6 \quad となり不可$
$よって \quad a=9,\quad b=1.\quad c=1,\quad d=5$
$a < c \quad のときは \ a\ と \ c\ を交換し、さらに \ b\ と \ d\ を交換すればよいから$
$\quad a=1,\quad b=5,\quad c=9,\quad d=1$
$したがって \quad (a,\ b,\ c,\ d)=(9,\ 1,\ 1,\ 5),\quad (1,\ 5,\ 9,\ 1)$
$すなわち \quad 2\cdot 3^5 \quad と \quad 2^9\cdot 3 \quad の和が \ \ 2022 \ \ となります。$
メインメニュー に戻る