一橋大学 2021年 問題5
$サイコロを \ 3\ 回投げて出た目を順に \ a,\ b,\ c\ とするとき、$
\[\int _{a-3}^{a+3} (x-b)(x-c)dx=0 \quad となる確率を求めよ。\]
$(解説)$
$ごく普通に定積分を求めて、a,\ b,\ c\ の関係式を求めます。$
$不定方程式の整数解を求めるわけですから式をうまく変形します。$
\begin{eqnarray*} I &=&\int _{a-3}^{a+3} (x-b)(x-c)dx\\ \\ &=&\int _{a-3}^{a+3} \big\{x^2-(b+c)x+bc\big\}dx\\ \\ &=&\big[\cfrac{x^3}{3}-\cfrac{b+c}{2}x^2 +bcx \big]_{a-3}^{a+3}\\ \\ &=&\cfrac{1}{3}\big\{(a+3)^3-(a-3)^3\big\}-\cfrac{b+c}{2}\big\{(a+3)^2-(a-3)^2\big\}+bc\big\{(a+3)-(a-3)\big\}\\ \\ &=&\cfrac{1}{3}(18a^2+54)- \cfrac{b+c}{2} \times 12a + 6bc\\ \\ &=&6\{a^2-a(b+c)+bc+3\}\\ \\ &=&6\{(a-b)(a-c)+3\}\\ \end{eqnarray*}
$\quad I=0 \quad より \qquad (a-b)(a-c)=-3$
$a,\ b,\ c\ の値はサイコロの目の数であることから \quad (a,\ b,\ c)\ は$
(i)$\ \ a-b=1,\quad a-c=-3 \quad のとき \quad b=a-1,\quad c=a+3 \quad だから \quad (2,1,5),\ \ (3,2,6)$
(ii)$\ \ a-b=-1,\quad a-c=3 \quad のとき \quad b=a+1,\quad c=a-3 \quad だから \quad (4,5,1),\ \ (5,6,2)$
(iii)$\ \ a-b=3,\quad a-c=-1 \quad のとき \quad b=a-3,\quad c=a+1 \quad だから \quad (4,1,5),\ \ (5,2,6)$
(iv)$\ \ a-b=-3,\quad a-c=1 \quad のとき \quad b=a+3,\quad c=a-1 \quad だから \quad (2,5,1),\ \ (3,6,2)$
$これら \ 8\ 個の根元事象は互いに排反だから$
$求める確率は \quad P=\cfrac{8}{6^3}=\cfrac{1}{27}$
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