一橋大学 2021年 問題3
$次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ a,\ b\ を実数とし、2\ 次方程式 \ \ x^2-ax+b=0 \ \ が実数解 \ \alpha ,\ \beta \ をもつとする。ただし、重解の場合は$
$\qquad \alpha =\beta \ \ とする。3\ 辺の長さが \ 1,\ \alpha,\ \beta \ である三角形が存在する \ (a,\ b)\ の範囲を求め図示せよ。$
$(2)\ \ 3\ 辺の長さが \ 1,\ \alpha,\ \beta \ である三角形が存在するとき、\cfrac{\alpha \beta +1}{(\alpha +\beta )^2} \ \ の値の範囲を求めよ。$
$(解説)$
$(1)\ \ 三角形ができる条件は、2\ 辺の和が他の \ 1\ 辺より大きいことです。$
$(2)\ \ \alpha ,\beta \ の式を解と係数の関係をつかって、a,\ b\ の式になおし、(1)の領域内に入る値の範囲を調べます。$
(1)
$ x^2-ax+b=0 \ \ が実数解 \ \ \ \alpha ,\ \beta \ をもつから \qquad D=a^2-4b \geqq 0 $
$解と係数の関係より \qquad \alpha +\beta =a,\qquad \alpha \beta=b$
$\alpha \ と \ \beta \ は三角形の辺の長さだから \qquad \alpha >0 ,\quad \beta >0 $
$したがって \quad \alpha +\beta > 0 \quad より \quad a > 0 ,\qquad \alpha \beta > 0 \quad より \quad b > 0 $
$三角形が存在する条件は、2\ 辺の和が残りの \ 1\ 辺より大だから$
$\qquad \alpha +\beta > 1 \quad より \quad a > 1 $
$\qquad \alpha + 1 > \beta ,\quad \beta + 1 > \alpha \quad より \quad -1 < \alpha -\beta < 1 \quad すなわち 0 \leqq |\alpha -\beta | < 1$
$よって \quad 0 \leqq (\alpha -\beta )^2 <1 \qquad 0 \leqq (\alpha +\beta )^2-4\alpha \beta <1 \quad したがって \quad 0 \leqq a^2-4b < 1 $
$以上、まとめると$
$\qquad \cfrac{a^2-1}{4} < b \leqq \cfrac{a^2}{4} ,\qquad a > 1$
$これらの範囲を図示すると右図のとおりである。$
$ただし、境界は \quad b=\cfrac{a^2}{4} \quad のみ含む。$
(2)
$t=\cfrac{\alpha \beta +1}{(\alpha +\beta )^2} \ \ とおくと \quad t=\cfrac{b+1}{a^2} \qquad \therefore \ \ b=ta^2-1$
$このグラフが(1)の領域に入るような \ t\ の値の範囲を求めればよい。$
$\quad \ \ b=\cfrac{a^2}{4} \ \ のグラフは \ \ b=\cfrac{a^2-1}{4}\ \ のグラフを \ b\ 軸方向に$
$\quad \cfrac{1}{4}\ \ 平行移動したものであることに注意して$
(i)
$\quad 放物線 \ \ b=ta^2-1 \ \ の開きの程度を表す \ 2\ 次の係数 \ t\ が$
$\quad t > \cfrac{1}{4}\ \ のとき(1)の領域に入る。$
(ii)
$\quad 放物線 \ \ b=ta^2-1 \ \ が、b=\cfrac{a^2}{4}\ \ のグラフ上の点 \ B(1,\ \cfrac{1}{4})\ \ を$
$\quad 通るとき$
$\qquad \cfrac{1}{4}=t-1 \quad より \quad t=\cfrac{5}{4}$
$\qquad 点B\ (1,\ \cfrac{1}{4})\ \ はとれないことに注意して$
(i),(ii)$\ \ より \quad \cfrac{1}{4} < t < \cfrac{5}{4} \qquad すなわち \qquad \cfrac{1}{4} < \cfrac{\alpha \beta +1}{(\alpha +\beta )^2} < \cfrac{5}{4}$
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