一橋大学 2021年 問題2
$\quad 実数 \ x\ に対し、x\ を超えない最大の整数を \ [x]\ で表す。数列 \ \{a_k\}\ を \ a_k=2^{[\sqrt{k}]}\ \ (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots )\ で$
\[定義する。正の整数 \ n\ に対して \quad b_n=\sum _{k=1}^{n^2} a_k \quad を求めよ。\]
$(解説)$
$\ \ [x]\ はガウス記号とよばれています。[\sqrt{k}]\ \ の扱いがポイントです。$
$\ \ a_{n^2-1}\ と \ a_{n^2}\ では値が異なりますので和をとるときに注意が必要です。$
$各 \ k\ について$
$\qquad 1^2 ,\ \cdots ,\ 2^2-1 \quad を第 \ 1\ 群$
$\qquad 2^2 ,\ \cdots ,\ 3^2-1 \quad を第 \ 2\ 群$
$\hspace{4em} \vdots $
$\qquad j^2 ,\ \cdots ,\ j^2-1 \quad を第 \ j\ 群$
$\hspace{4em} \vdots $
$と分割する。$
$このとき、[\sqrt{k}]\ \ は各群で、1,\ 2,\ \cdots , \ j ,\ \cdots \quad となるから、a_k=2^{\sqrt{k}]}\ \ は各群で、2^1,\ 2^2,\ \cdots ,\ 2^j,\ \cdots \quad となる。$
$第 \ j\ 群の項数は \quad (j+1)^2-j^2=2j+1 \quad だから$
\[b_n=\sum _{k=1}^{n^2}a_k=\sum _{k=1}^{n^2-1}a_k+a_{n^2}=\sum _{j=1}^{n-1}(2j+1)2^j+2^n\]
\[S_{n-1}=\sum _{j=1}^{n-1}(2j+1)2^j \quad とおくと\] (i)$\ \ n \geqq 2\ \ のとき$
$\qquad S_{n-1}=3\cdot 2+5\cdot 2^2+7\cdot 2^3+ \cdots + (2n-1)\cdot 2^{n-1}$
$\qquad 2S_{n-1}=\hspace{2em} \ 3\cdot 2^2+5\cdot 2^3+ \cdots + (2n-3)\cdot 2^{n-1}+ (2n-1)\cdot 2^n$
$\quad 辺々引いて$
$\qquad -S_{n-1}=3\cdot 2+2\cdot 2^2+2\cdot 2^3+ \cdots + 2\cdot 2^{n-1}-(2n-1)\cdot 2^n$
\begin{eqnarray*} S_{n-1} &=&-6 -(2^3+ 2^4+ \cdots + 2^n) + (2n-1)\cdot 2^n\\ \\ &=&-6 -\cfrac{2^3(2^{n-2}-1)}{2-1} + (2n-1)\cdot 2^n\\ \\ &=&2-2^{n+1}+n \cdot 2^{n+1}-2^n\\ \\ &=&2-2^n+(n-1)2^{n+1}\\ \end{eqnarray*}
$\qquad \therefore \ \ b_n=2-2^n+(n-1)2^{n+1} +2^n~=2+(n-1)2^{n+1}$
(ii)$\ \ n=1 \ \ のとき$
$\qquad b_1=a_1=2 \ \ で、これは上の式で \ n=1\ とおいた値に一致する。$
$よって、すべての正の整数 \ n\ に対して \qquad b_n=2+(n-1)2^{n+1}$
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