広島大学(理系) 2026年 問題5
$数列\ \{a_n\}\ を \ a_1=2,\ \ a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{a_n}\ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)\ \ により定める。次の問いに答えよ。$
\[必要ならば、\lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{\log n}{\sqrt{n}}=0 \ \ であることを用いてよい。\]
$(1)\ \ すべての自然数 \ n\ に対して、a_n \ は正の有理数であることを示せ。$
$(2)\ \ すべての自然数 \ n\ に対して、a_n \geqq \sqrt{2n+2}\ \ であることを示せ。$
$(3)\ \ すべての自然数 \ n\ に対して、a_n \leqq \sqrt{2n+2+\dfrac{1}{2}\log n } \ \ であることを示せ。$
\[(4)\ \ 極限値 \ \ \lim_{n \rightarrow \infty} (a_n - \sqrt{2n})\ \ を求めよ。\]
(1)
$a_n \ は正の有理数であることを数学的帰納法で証明する。$
(i)$\ \ n=1 \ \ のとき$
$\quad a_1=2 \ \ は正の有理数であるから \ \ n=1\ \ のとき成りたつ。。$
(ii)$\ \ n=k\ のとき成りたつとすると \quad a_k \ \ は正の有理数である。$
$\quad このとき \quad \dfrac{1}{a_k} \ \ も正の有理数である。$
$正の有理数は加法において閉じているから \quad a_{k+1}=a_k+\dfrac{1}{a_k} \ \ も正の有理数である。$
(i),(ii)$\ \ よりすべての自然数 \ n\ について、a_n \ は正の有理数である。$
(2)
$a_n \geqq \sqrt{2n+2}\ \ であることを数学的帰納法で証明する。$
(i)$\ \ n=1 \ \ のとき$
$\quad 左辺=a_1=2,\qquad 右辺=\sqrt{2 \times 1+2}=2 \quad よって \quad n=1\ \ のとき成りたつ。$
(ii)$\ \ n=k\ のとき成りたつとすると \quad a_k \geqq \sqrt{2k+2} $
$\quad このとき $
\begin{eqnarray*} \quad a_{k+1}^2 &=&\big(a_k+\dfrac{1}{a_k}\big)^2\\ \\ &=&a_k^2+2+\dfrac{1}{a_k^2}\\ \\ &\geqq &(2k+2)+2 +\dfrac{1}{a_k^2}\\ \\ &=&2(k+1)+2 +\dfrac{1}{a_k^2}\\ \\ &\geqq &2(k+1)+2 \\ \end{eqnarray*}
$\quad よって \quad a_{k+1} \geqq \sqrt{2(k+1)+2} \ \ だから \ \ n=k+1\ \ のときも成りたつ。$
(i),(ii)$\ \ よりすべての自然数 \ n\ について、a_n \geqq \sqrt{2n+2} $
(3)
$a_n \leqq \sqrt{2n+2+\dfrac{1}{2}\log n } \quad であることを数学的帰納法で証明する。$
(i)$\ \ n=1 \ \ のとき$
$\quad 左辺=a_1=2,\qquad 右辺=\sqrt{2 \times 1+2+\dfrac{1}{2}\log 1}=2 \quad よって \quad n=1 \ のとき成りたつ。$
(ii)$\ \ n=k \ のとき成りたつとすると$
$\quad a_k \leqq \sqrt{2k+2+\dfrac{1}{2}\log k }$
$\quad また、(2) より \quad a_k \geqq \sqrt{2k+2} \ \ だから \quad \dfrac{1}{a_k}\leqq \dfrac{1}{\sqrt{2k+2}}$
$\quad このとき $
\begin{eqnarray*} \quad a_{k+1}^2 &=&\big(a_k+\dfrac{1}{a_k}\big)^2\\ \\ &=&a_k^2+\dfrac{1}{a_k^2}+2\\ \\ &\leqq &\big(2k+2+\dfrac{1}{2}\log k\big) + \dfrac{1}{2k+2}+2\\ \\ &=&2k+4+\dfrac{1}{2}\log k + \dfrac{1}{2k+2}\\ \end{eqnarray*}
$\quad ここで$
\begin{eqnarray*} \quad P &=&\big\{2(k+1)+2+\dfrac{1}{2}\log(k+1)\big\}-\big\{2k+4+\dfrac{1}{2}\log k + \dfrac{1}{2k+2}\big\}\\ \\ &=&\dfrac{1}{2}\big\{\big(\log(k+1)-\log k\big)- \dfrac{1}{k+1}\big\}\\ \end{eqnarray*} $\quad f(x)=\log x \ \ について区間 \ [k,\ k+1] \ に平均値の定理を用いると \quad f'(x)=\dfrac{1}{x} \ \ だから$
$\quad \dfrac{f(k+1)-f(k)}{(k+1)-k}=f'(c) \ \ をみたす \ c\ が \ (k,\ k+1)\ \ に少なくとも一つ存在する。$
$\quad \log(k+1)-\log k =\dfrac{1}{c} $
$\quad 0 < k < c < k+1 \ \ より \quad \dfrac{1}{c} > \dfrac{1}{k+1} \ \ だから$
$\quad \log(k+1)-\log k >\dfrac{1}{k+1}$
$\quad したがって \quad P > 0 \ \ だから 2k+4+\dfrac{1}{2}\log k + \dfrac{1}{2k+2} < 2(k+1)+2+\dfrac{1}{2}\log(k+1)$
$\quad よって \quad a_{k+1}^2 < 2(k+1)+2+\dfrac{1}{2}\log(k+1) $
$\quad ゆえに \ \ a_{k+1} \leqq \sqrt{2(k+1)+2+\dfrac{1}{2}\log(k+1)} \ \ だから \ \ n=k+1\ のときも成りたつ。$
(i),(ii)$\ \ よりすべての自然数nについて、a_n \leqq \sqrt{2n+2 + \dfrac{1}{2}\log n}$
(4)
$(2),(3) より \quad \sqrt{2n+2} \leqq a_n \leqq \sqrt{2n+2 + \dfrac{1}{2}\log n}$
$\sqrt{2n+2}-\sqrt{2n} \leqq a_n -\sqrt{2n} \leqq \sqrt{2n+2 + \dfrac{1}{2}\log n} -\sqrt{2n}$
$n \longrightarrow \infty \ \ のとき$
$左辺=\dfrac{2}{\sqrt{2n+2}+\sqrt{2n}} \longrightarrow 0$
$右辺=\dfrac{2+ \dfrac{1}{2}\log n}{\sqrt{2n+2 + \dfrac{1}{2}\log n} + \sqrt{2n}}=\dfrac{\dfrac{2}{\sqrt{n}}+ \dfrac{1}{2}\dfrac{\log n}{\sqrt{n}}}{\sqrt{2+\dfrac{2}{n} + \dfrac{1}{2\sqrt{n}}\dfrac{\log n}{\sqrt{n}}} +\sqrt{2}} \longrightarrow 0$
\[はさみうちの原理により \quad \lim_{n \rightarrow \infty}\big(a_n -\sqrt{2n}\big)=0\]
$(参考)$
$(4)の収束はかなり遅い。Excel \ で計算すると$
$d_n=a_n-\sqrt{2n}\ \ の値は \quad d_{100}=0.142,\quad d_{500}=0.076,\ \ \cdots $
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