広島大学(理系) 2026年 問題4
$p\ を \ 2\ より大きい実数とする。次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 関数 \ y=x(1+x^2)^{-p}\ \ (x \geqq 0)\ \ が最大値をとるときの \ x\ の値を \ a\ とする。a\ を \ p\ を用いて表せ。$
\[(2)\ \ 1+x^2=t \ \ とおくことにより、不定積分 \ \ \int2x^3(1+x^2)^{-p} dx\ \ を求めよ。\]
\[(3)\ \ a\ を(1)でと求めたものとし、S(p)=\int_0^a x(1+x^2)^{-p}dx \ \ とおく。極限値 \ \ \lim_{p \rightarrow \infty} pS(p)\ \ を求めよ。\]
\[(4)\ \ a\ を(1)でと求めたものとし、T(p)=\int_0^a 2x^3(1+x^2)^{-p}dx \ \ とおく。極限値 \ \ \lim_{p \rightarrow \infty} p^2T(p)\ \ を求めよ。\]
(1)
$y=x(1+x^2)^{-p} \ \ より$
\begin{eqnarray*} y' &=&(1+x^2)^{-p}+x(-p)(1+x^2)^{-p-1}(2x)\\ \\ &=&(1+x^2)^{-p-1}\big\{(1+x^2)-2px^2\big\}\\ \\ &=&-(1+x^2)^{-p-1}\big\{(2p-1)x^2-1\big\} \end{eqnarray*} $y'=0 \ \ より \quad x^2=\dfrac{1}{2p-1} \qquad x \geqq 0 \ \ だから \quad x=\dfrac{1}{\sqrt{2p-1}}$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} x & 0 & \cdots & \dfrac{1}{\sqrt{2p-1}} & \cdots \\ \hline y' & & + & 0 & - \\ \hline y & 0 & \nearrow & 極大 & \searrow \\ \end{array} \]
$y\ は \ \ x=\dfrac{1}{\sqrt{2p-1}} \ \ で極大かつ最大だから \quad a=\dfrac{1}{\sqrt{2p-1}}$
$右図は \ \ y=f(x) \ \ のグラフである。$
(2)
$1+x^2=t \ \ とおくと \quad 2xdx=dt$
\begin{eqnarray*} & &\int2x^3(1+x^2)^{-p} dx\\ \\ &=&\int x^2(1+x^2)^{-p}(2xdx)\\ \\ &=&\int (t-1)t^{-p}dt\\ \\ &=&\int (t^{-p+1}-t^{-p})dt\\ \\ &=&\dfrac{1}{-p+2}t^{-p+2} - \dfrac{1}{-p+1}t^{-p+1}+C\\ \\ &=&-\dfrac{1}{p-2}(1+x^2)^{-p+2} + \dfrac{1}{p-1}(1+x^2)^{-p+1}+C \quad (C\ は積分定数)\\ \end{eqnarray*}
(3)
\[S(p)=\int_0^a x(1+x^2)^{-p}dx \quad において\] \[ 1+x^2=t \ \ とおくと \quad 2xdx=dt \qquad \begin{array}{c|c} x & 0 \rightarrow a \\ \hline t & 1 \rightarrow 1+a^2 \\ \end{array} \]
\begin{eqnarray*} S(p) &=&\int_0^a \dfrac{1}{2}(1+x^2)^{-p}(2xdx)\\ \\ &=&\dfrac{1}{2}\int_1^{1+a^2} t^{-p} dt\\ \\ &=&\dfrac{1}{2}\big[\dfrac{1}{-p+1}t^{-p+1}\big]_1^{1+a^2}\\ \\ &=&-\dfrac{1}{2(p-1)}\big\{(1+a^2)^{-p+1}-1\big\}\\ \\ &=&\dfrac{1}{2(p-1)}\big\{1-(1+\dfrac{1}{2p-1}\big\}^{-p+1}\big\}\\ \\ &=&\dfrac{1}{2(p-1)}\Big[1-\big(1+\dfrac{1}{2p-1}\big)^{\scriptsize{\dfrac{1}{2}}} \big\{\big(1+\dfrac{1}{2p-1}\big)^{2p-1}\big\}^{-\scriptsize{\dfrac{1}{2}}}\Big]\\ \end{eqnarray*}
$ここで、p \longrightarrow \ \ のとき \quad \big(1+\dfrac{1}{2p-1}\big)^{2p-1} \longrightarrow e \ \ だから$
\begin{eqnarray*} & &\lim_{p \rightarrow \infty} pS(p)\\ \\ &=&\lim_{p \rightarrow \infty} \dfrac{p}{2(p-1)}\Big[1-\big(1+\dfrac{1}{2p-1}\big)^{\scriptsize{\dfrac{1}{2}}} \big\{\big(1+\dfrac{1}{2p-1}\big)^{2p-1}\big\}^{-\scriptsize{\dfrac{1}{2}}}\Big]\\ \\ &=&\dfrac{1}{2}\big(1-1 \times e^{-\scriptsize{\dfrac{1}{2}}}\big)\\ \\ &=&\dfrac{1}{2}\big(1-\dfrac{1}{\sqrt{e}}\big)\\ \end{eqnarray*}
(4)
\begin{eqnarray*} & &T(p)\\ \\ &=&\int_0^a 2x^3(1+x^2)^{-p}dx\\ \\ &=&\Big[-\dfrac{1}{p-2}(1+x^2)^{-p+2} + \dfrac{1}{p-1}(1+x^2)^{-p+1}\Big]_0^a \qquad(2)より\\ \\ &=&\dfrac{1}{p-2}\Big\{1-(1+a^2)^{-p+2}\Big\}-\dfrac{1}{p-1}\Big\{1-(1+a^2)^{-p+1}\Big\}\\ \\ &=&\dfrac{1}{p-2}\Big\{1-\big(1+\dfrac{1}{2p-1}\big)^{-p+2}\Big\} - \dfrac{1}{p-1}\Big\{1-\big(1+\dfrac{1}{2p-1}\big)^{-p+1}\Big\}\\ \\ &=&\dfrac{1}{p-2}\Big\{1-\big(1+\dfrac{1}{2p-1}\big) \big(1+\dfrac{1}{2p-1}\big)^{-p+1}\Big\} - \dfrac{1}{p-1}\Big\{1-\big(1+\dfrac{1}{2p-1}\big)^{-p+1}\Big\}\\ \\ &=&\dfrac{1}{p-2}\Big\{1-\big(1+\dfrac{1}{2p-1}\big)^{-p+1} -\dfrac{1}{2p-1}\big(1+\dfrac{1}{2p-1}\big)^{-p+1} \Big\} - \dfrac{1}{p-1}\Big\{1-\big(1+\dfrac{1}{2p-1}\big)^{-p+1}\Big\} \quad (第 \ 1\ 項を展開)\\ \\ &=&\dfrac{1}{p-2}\Big\{1-\big(1+\dfrac{1}{2p-1}\big)^{-p+1}\Big\} - \dfrac{1}{p-1}\Big\{1-\big(1+\dfrac{1}{2p-1}\big)^{-p+1}\Big\} -\dfrac{1}{(p-2)(2p-1)}\big(1+\dfrac{1}{2p-1}\big)^{-p+1} \quad (第 \ 2\ 項と第 \ 3\ 項の入替え)\\ \\ &=&\big(\dfrac{1}{p-2}-\dfrac{1}{p-1}\big) \Big\{1-\big(1+\dfrac{1}{2p-1}\big)^{-p+1}\Big\} -\dfrac{1}{(p-2)(2p-1)}\big(1+\dfrac{1}{2p-1}\big)^{-p+1}\quad (共通因数でくくる)\\ \\ &=&\dfrac{1}{(p-2)(p-1)} \Big\{1-\big(1+\dfrac{1}{2p-1}\big)^{-p+1}\Big\} -\dfrac{1}{(p-2)(2p-1)}\big(1+\dfrac{1}{2p-1}\big)^{-p+1} \\ \end{eqnarray*}
$ここで、(3)より \ \ p \longrightarrow \ \ のとき \quad \big(1+\dfrac{1}{2p-1}\big)^{-p+1} \longrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{e}} \ \ だから$
\begin{eqnarray*} & &\lim_{p \rightarrow \infty} p^2T(p)\\ \\ &=&\lim_{p \rightarrow \infty} \Big\{\dfrac{p^2}{(p-2)(p-1)} \Big\{1-\big(1+\dfrac{1}{2p-1}\big)^{-p+1}\Big\} -\dfrac{p^2}{(p-2)(2p-1)}\big(1+\dfrac{1}{2p-1}\big)^{-p+1} \Big\}\\ \\ &=& 1 \times \big(1-\dfrac{1}{\sqrt{e}}\big) -\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{\sqrt{e}}\\ \\ &=&1-\dfrac{3}{2\sqrt{e}} \end{eqnarray*}
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