広島大学(理系) 2026年　問題3


$すべての面が合同な四面体 \ OABC\ があり、OA=\sqrt{2},\ \ OB=OC=\sqrt{5}\ \ である。点 \ O\ から \ 3\ 点 \ A,\ B,\ C$
$の定める平面に垂線 \ OH\ を下ろす。\vec{OA}=\vec{a},\ \ \vec{OB}=\vec{b},\ \ \vec{OC}=\vec{c}\ とする。次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 内積\ \vec{a} \cdot \vec{b},\ \ \vec{b} \cdot \vec{c},\ \ \vec{c} \cdot \vec{a}\ \ の値を求めよ。さらに、\triangle AOB の面積を求めよ。$
$(2)\ \ \vec{OH}\perp \vec{AB}, \ \ \vec{OH} \perp \vec{AC}\ \ であることを利用して、\vec{AH}=s\vec{AB}+t\vec{AC}\ \ を満たす実数 \ s,\ t\ の値を求めよ。$
$(3)\ \ 垂線 \ OH\ の長さを求めよ。$
$(4)\ \ 四面体\ OABC\ を \ 3\ 点 \ O,\ C,\ H\ の定める平面によって切り、二つの立体に分ける。体積が小さい方の$
$\quad 立体の体積を求めよ。$


(1)

　

$四面体 \ OABC\ のすべての面が合同だから \ 4\ 面の三角形はすべて合同$

$OA=\sqrt{2},\ \ OB=OC=\sqrt{5}\ \ より各面は \ \ \sqrt{2},\ \ \sqrt{5},\ \ \sqrt{5}\ の三角形である。$

$\angle AOB=\alpha \ とし、\triangle OAB \ \ に余弦定理を用いて$

$\cos \alpha =\dfrac{OA^2+OB^2-AB^2}{2OA\cdot OB}=\dfrac{2+5-5}{2 \times \sqrt{2} \times \sqrt{5}}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}$

$\angle BOC=\beta \ とし、\triangle OBC \ \ に余弦定理を用いて$

$\cos \beta =\dfrac{OB^2+OC^2-BC^2}{2OB\cdot OC}=\dfrac{5+5-2}{2 \times \sqrt{5} \times \sqrt{5}}=\dfrac{4}{5}$

$\vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \alpha =\sqrt{2} \times \sqrt{5} \times \dfrac{1}{\sqrt{10}}=1$

$\vec{b} \cdot \vec{c}=|\vec{b}||\vec{c}|\cos \beta =\sqrt{5} \times \sqrt{5} \times \dfrac{4}{5}=4$

$\triangle OCA \equiv \triangle OAB \ \ だから \quad \vec{c} \cdot \vec{a}=\vec{a} \cdot \vec{b}=1$


$\cos \alpha=\dfrac{1}{\sqrt{10}}\ \ より \quad \sin \alpha=\sqrt{1-\cos ^2\alpha}=\sqrt{1-\dfrac{1}{10}}=\dfrac{3}{\sqrt{10}}$

$\triangle AOB=\dfrac{1}{2} \times OA \times OB \times \sin \alpha =\dfrac{1}{2} \times \sqrt{2} \times \sqrt{5} \times \dfrac{3}{\sqrt{10}}=\dfrac{3}{2}$


(2)


$点 \ H\ は平面 \ ABC\ 上にあるから \ \ \vec{AH}=s\vec{AB}+t\vec{AC}\ \ (s,\ t\ は実数)\ \ とおけるから$

$\vec{AH}=s(\vec{b}-\vec{a})+t(\vec{c}-\vec{a})$

$\vec{OH}=\vec{OA}+\vec{AH}=\vec{a}+s(\vec{b}-\vec{a})+t(\vec{c}-\vec{a})=(1-s-t)\vec{a}+s\vec{b}+t\vec{c}$

(i)$\ \ \vec{OH} \perp \vec{AB} \ \ より$

$\quad \big((1-s-t)\vec{a}+s\vec{b}+t\vec{c}\big) \cdot (\vec{b}-\vec{a})=0$

$\quad (1-s-t)\vec{a} \cdot \vec{b}- (1-s-t)|\vec{a}|^2+s|\vec{b}|^2 -s\vec{a} \cdot \vec{b} + t\vec{b} \cdot \vec{c}-t\vec{c} \cdot \vec{a}=0$

$\quad |\vec{a}|^2=OA^2=2,\quad |\vec{b}|^2=OB^2=5,\quad \vec{a} \cdot \vec{b}=1, \quad \vec{b} \cdot \vec{c}=4,\quad \vec{c} \cdot \vec{a}=1 \ \ を代入して$

$\quad (1-s-t)- 2(1-s-t)+5s -s + 4t-t=0$

$\quad 5s+4t=1 \hspace{5em}①$

(ii)$\ \ \vec{OH} \perp \vec{AC} \ \ より$

$\quad \big((1-s-t)\vec{a}+s\vec{b}+t\vec{c}\big) \cdot (\vec{c}-\vec{a})=0$

$\quad (1-s-t)\vec{a} \cdot \vec{c}- (1-s-t)|\vec{a}|^2+s\vec{b} \cdot \vec{c} -s\vec{a} \cdot \vec{b} + t|\vec{c}|^2 -t\vec{c} \cdot \vec{a}=0$

$\quad (1-s-t)- 2(1-s-t)+4s -s + 5t-t=0$

$\quad 4s+5t=1 \hspace{5em}②$

$①-②より \quad s-t=0 \qquad \therefore \ \ t=s$

$①に代入して \quad 9s=1 \qquad s=t=\dfrac{1}{9}$


(3)


$(2)より\ \ s=t=\dfrac{1}{9} \ \ だから \quad \vec{OH}=\dfrac{1}{9}(7\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$

\begin{eqnarray*} |\vec{OH}|^2 &=&\dfrac{1}{81}||7\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2\\ \\ &=&\dfrac{1}{81}(49|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2+14\vec{a}\cdot \vec{b}+2\vec{b} \cdot \vec{c}+14\vec{c} \cdot \vec{a})\\ \\ &=&\dfrac{1}{81}(49 \times 2+5+5+14 \times 1+ 2 \times 4 + 14 \times 1)\\ \\ &=&\dfrac{144}{81} \end{eqnarray*}
$\therefore OH=|\vec{OH}|=\dfrac{12}{9}=\dfrac{4}{3}$


(4)

　

$平面ABC \ 上で、2\ 直線 \ CH,\ \ AB\ は交わるから交点を \ D\ とする。$

$AD:DB=(1-m):m \ \ とおくと $

$\vec{OD}=m\vec{a}+(1-m)\vec{b}$

$また、3点C,H,D は一直線上にあるから$

$\vec{CD}=k\vec{CH} \ \ (k\ は実数)\ \ とおける。$

$\vec{OD}-\vec{OC}=k(\vec{OH}-\vec{OC})$
\begin{eqnarray*} \vec{OD} &=&\vec{OC}+k(\vec{OH}-\vec{OC})\\ \\ &=&\dfrac{k}{9}(7\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})+(1-k)\vec{c}\\ \\ &=&\dfrac{7k}{9}\vec{a}+\dfrac{k}{9}\vec{b}+(1-\dfrac{8}{9}k)\vec{c}\\ \end{eqnarray*} $よって$

$\vec{OD}=m\vec{a}+(1-m)\vec{b}=\dfrac{7k}{9}\vec{a}+\dfrac{k}{9}\vec{b}+(1-\dfrac{8}{9}k)\vec{c}$

$\vec{a},\ \vec{b},\ \vec{c}\ は互いに平行でない(一次独立)から$

\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} m=\dfrac{7}{9}k \hspace{6em}①\\ 1-m=\dfrac{k}{9} \hspace{5em}②\\ 1-\dfrac{8}{9}k=0 \hspace{5em}③\\ \end{array} \right. \] $③より \quad k=\dfrac{9}{8}$

$①に代入して \quad m=\dfrac{7}{9} \times \dfrac{9}{8}=\dfrac{7}{8}$

$この \ k,\ m\ は②を満たす。$

$AD:DB=\dfrac{1}{8}:\dfrac{7}{8}=1:7 \ \ だから$

$二つに分けられた体積が小さい方の立体は四面体 \ OADC\ である。$

　

$\triangle ABC \ \ において、\angle BAC=\gamma \ とおくと余弦定理より$

$\cos \gamma =\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB\cdot AC}=\dfrac{5+5-2}{2 \times \sqrt{5} \times \sqrt{5}}=\dfrac{4}{5}$

$\sin \gamma =\sqrt{1-\cos ^2\gamma}=\sqrt{1-(\dfrac{4}{5})^2}=\dfrac{3}{5}$

$\triangle ABC=\dfrac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin \gamma=\dfrac{1}{2} \times \sqrt{5} \times \sqrt{5} \times \dfrac{3}{5}=\dfrac{3}{2}$

$\triangle ACD=\dfrac{1}{8}\triangle ABC=\dfrac{1}{8} \times \dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{16}$

$四面体OADC=\dfrac{1}{3} \times \triangle ACD \times OH=\dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{16}\times \dfrac{4}{3}=\dfrac{1}{12}$


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