広島大学(理系) 2026年　問題2


$座標平面上に楕円 \ C:x^2+\dfrac{y^2}{4}=1\ と \ 2\ 点 \ A(0,\ \sqrt{3}),\ B(0,\ -\sqrt{3})\ がある。m > 0\ とし、点 \ A\ を通る傾き \ m$
$の直線を \ \ell \ とする。楕円 \ C\ と直線 \ \ell \ との二つの交点を \ P,\ Q\ とし、2\ 点 \ P,\ Q\ の x\ 座標をそれぞれ \ \alpha,\ \ \beta $
$(\alpha > \beta)\ \ とする。次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ \alpha + \beta \ \ と \ \alpha \beta \ \ をそれぞれ \ m\ を用いて表せ。$
$(2)\ \ 線分 \ PQ\ の長さを \ m\ を用いて表せ。$
$(3)\ \ 線分 \ BP\ と線分 \ BQ\ の長さの和が \ 5\ であるとき、線分 \ PQ\ の長さを求めよ。また、そのときの \ m\ の値を$
$\quad 求めよ。$
$(4)\ \ m\ が(3)で求めた値であるとき、\triangle BPQ \ の面積を求めよ。$


(1)

　

$\ell : y=mx+\sqrt{3}\ \ と \ \ C:\ x^2+\dfrac{y^2}{4}=1\ \ との交点の \ x\ 座標は$

$x^2+\dfrac{1}{4}(mx+\sqrt{3})^2=1$

$(m^2+4)x^2+2\sqrt{3}mx-1=0 \ \ の解である。$

$\dfrac{D}{4}=(\sqrt{3}m)^2+(m^2+4)=4m^2+4 > 0 \ \ だから$

$確かに異なる \ 2\ つの実数解 \ \ \alpha , \ \ \beta \ \ をもつ。$

$解と係数の関係より$

$\alpha +\beta =-\dfrac{2\sqrt{3}m}{m^2+4},\qquad \alpha \beta=-\dfrac{1}{m^2+4}$


(2)


$2\ 点 \ P,\ Q\ は直線 \ \ell \ 上にあるから\ \ P(\alpha,\ m\alpha+\sqrt{3}),\ \ Q(\beta,\ m\beta+\sqrt{3}) \ \ とおける。$

$このとき$
\begin{eqnarray*} PQ^2 &=&(\alpha -\beta)^2+\big\{(m\alpha +\sqrt{3})-(m\beta + \sqrt{3})\big\}^2\\ \\ &=&(\alpha -\beta)^2+ m^2(\alpha - \beta )^2\\ \\ &=&(m^2+1)(\alpha -\beta)^2\\ \\ &=&(m^2+1)\big\{(\alpha +\beta)^2 -4\alpha \beta\big\}\\ \\ &=&(m^2+1)\big\{\big(-\dfrac{2\sqrt{3}m}{m^2+4}\big)^2 -4 \big(-\dfrac{1}{m^2+4}\big)\big\}\\ \\ &=&(m^2+1)\big\{\dfrac{12m^2}{(m^2+4)^2} +\dfrac{4}{m^2+4}\big\}\\ \\ &=&4(m^2+1) \times \dfrac{3m^2+(m^2+4)}{(m^2+4)^2}\\ \\ &=&\dfrac{16(m^2+1)^2}{(m^2+4)^2}\\ \end{eqnarray*}
$\therefore\ \ PQ=\dfrac{4(m^2+1)}{m^2+4}$


(3)

　

$ A(0,\ \sqrt{3}),\ \ B(0,\ -\sqrt{3})\ は楕円 \ C:x^2+\dfrac{y^2}{4}=1\ \ の$

$2\ つの焦点であるから、楕円の定義により$
\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} PA+PB=4 \hspace{5em}①\\ QA+QB=4 \hspace{5em}②\\ \end{array} \right. \]
$\qquad BP+BQ=5 \hspace{5em}③$

$①+②より \quad (PA+QA)+(PB+QB)=8$

$PA+QA=PQ \ \ だから \quad PQ+(BP+BQ)=8$

$③を代入して \quad PQ+5=8$

$\therefore \ \ PQ=3$


$(2)より \ \ PQ=\dfrac{4(m^2+1)}{m^2+4} \ \ だから \quad \dfrac{4(m^2+1)}{m^2+4}=3$

$4(m^2+1)=3(m^2+4)$

$m^2=8$

$m > 0\ \ だから \quad m=2\sqrt{2}$


(4)


$m=2\sqrt{2} \ \ のとき \quad PQ: y=2\sqrt{2}x+\sqrt{3}$

$すなわち \quad PQ: 2\sqrt{2}x-y+\sqrt{3}=0$

$B(0,\ -\sqrt{3})\ \ から直線 \ PQ\ に下ろした垂線の長さ \ h\ は$

$h=\dfrac{|2\sqrt{2} \times 0-(-\sqrt{3})+\sqrt{3}|}{\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(-1)^2}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{9}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$

$よって$

$\triangle BPQ=\dfrac{1}{2} \times PQ \times h=\dfrac{1}{2} \times 3 \times \dfrac{2\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$


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