広島大学(理系) 2026年　問題1


$大小\ 2\ 個のさいころを投げ、出た目の最大値を得点とするゲームを「ゲーム \ X」と呼ぶ。次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ A\ さんがゲーム \ X\ を行う。A\ さんの得点が \ 5\ である確率を求め、既約分数(それ以上約分できない分数)$
$\quad で表せ。$
$(2)\ \ A\ さんがゲーム \ X\ を行う。A\ さんの得点が \ 5\ であるとき、大きいさいころの出た目が \ 5\ である条件付き$
$\quad 確率を求め、既約分数で表せ。$
$(3)\ \ A\ さんがゲーム \ X\ を行う。A\ さんの得点の期待値を求め、既約分数で表せ。$
$(4)\ \ A\ さんと \ B\ さんがそれぞれがゲーム \ X\ を行う。A\ さんの得点が \ B\ さんの得点より大きい確率を求め、$
$\quad 既約分数で表せ。$


(1)

　

$右の表は、大小\ 2\ 個のさいころを投げ、出た目の最大値を求めた$

$分布表である。$

$得点が \ 5\ となるのは、出た目の最大値が\ 5\ ということだから$

$大小\ 2\ 個のさいころを投げて出た目を \ (a,\ b)\ と表すと$

$(1,\ 5),\ (2,\ 5),\ (3,\ 5),\ (4,\ 5).\ (5,\ 1),\ (5,\ 2),\ (5,\ 3).\ (5,\ 4),\ (5,\ 5)\ \ の$

$9\ 通りしたがって　得点が \ 5\ である確率は$

$p=\dfrac{9}{36}=\dfrac{1}{4}$


(2)


$得点が \ 5\ である事象 \ A\ は(1)より$

$A=\big\{(1,\ 5),\ (2,\ 5),\ (3,\ 5),\ (4,\ 5).\ (5,\ 1),\ (5,\ 2),\ (5,\ 3).\ (5,\ 4),\ (5,\ 5)\big\} \ の \ 9\ 通り$

$このうち、大きいさいころの出た目が \ 5\ である事象 \ C\ は$

$C=\big\{(5,\ 1),\ (5,\ 2),\ (5,\ 3).\ (5,\ 4),\ (5,\ 5)\big\}\ の \ 5\ 通りだから$


$求める条件付き確率は \quad P_A(C)=\dfrac{5}{9}$


(3)


$得点が\ 1\ である事象は \ (1,\ 1)\ の \ 1\ 通り$

$得点が\ 2\ である事象は \ (1,\ 2),\ (2,\ 1),\ (2,\ 2)\ の \ 3\ 通り$

$得点が\ 3\ である事象は \ (1,\ 3),\ (2,\ 3),\ (3,\ 1),\ (3,\ 2),\ (3,\ 3)\ の \ 5\ 通り$

$得点が\ 4\ である事象は \ (1,\ 4),\ (2,\ 4),\ (3,\ 4),\ (4,\ 1),\ (4,\ 2),\ (4,\ 3),\ (4,\ 4)\ の \ 7\ 通り$

$得点が\ 5\ である事象は \ (1,\ 5),\ (2,\ 5),\ (3,\ 5),\ (4,\ 5).\ (5,\ 1),\ (5,\ 2),\ (5,\ 3).\ (5,\ 4),\ (5,\ 5)\ の \ 9\ 通り$

$得点が\ 6\ である事象は \ (1,\ 6),\ (2,\ 6),\ (3,\ 6),\ (4,\ 6).\ (5,\ 6),\ (6,\ 1),\ (6,\ 2).\ (6,\ 3),\ (6,\ 4),\ (6,\ 5),\ (6,\ 6)\ の \ 11\ 通り$

　

$右の表は、得点 \ Y\ とその確率をまとめた確率分布表$

$である。したがって \ Y\ の期待値 \ E(Y)\ は$
\begin{eqnarray*} E(Y) &=&1 \times \dfrac{1}{36}+2 \times \dfrac{3}{36}+3 \times \dfrac{5}{36}+4 \times \dfrac{7}{36}+5 \times \dfrac{9}{36}+6 \times \dfrac{11}{36}\\ \\ &=&\dfrac{161}{36}\\ \end{eqnarray*}

(4)


$A\ さんと \ B\ さんの試行は互いに独立だから \ 2\ 人の得点の確率は(3)の確率分布表にしたがう。$

$A\ さんの得点が \ B\ さんの得点より大きいのは次の場合である。$

(i)$\ \ A=2,\ \ B=1\ \ のとき$

$\quad p_1=\dfrac{3}{36} \times \dfrac{1}{36}=\dfrac{3}{36^2}$

(ii)$\ \ A=3,\ \ B=1,\ 2\ \ のとき$

$\quad p_2=\dfrac{5}{36} \times \big(\dfrac{1}{36}+ \dfrac{3}{36}\big)=\dfrac{20}{36^2}$

(iii)$\ \ A=4,\ \ B=1,\ 2,\ 3\ \ のとき$

$\quad p_3=\dfrac{7}{36} \times \big(\dfrac{1}{36}+ \dfrac{3}{36}+\dfrac{5}{36}\big)=\dfrac{63}{36^2}$

(iv)$\ \ A=5,\ \ B=1,\ 2,\ 3,\ 4\ \ のとき$

$\quad p_4=\dfrac{9}{36} \times \big(\dfrac{1}{36}+ \dfrac{3}{36}+\dfrac{5}{36}+\dfrac{7}{36}\big)=\dfrac{144}{36^2}$

(v)$\ \ A=6,\ \ B=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\ \ のとき$

$\quad p_5=\dfrac{11}{36} \times \big(\dfrac{1}{36}+ \dfrac{3}{36}+\dfrac{5}{36}+\dfrac{7}{36}+\dfrac{9}{36}\big)=\dfrac{275}{36^2}$

$よってA\ さんの得点が \ B\ さんの得点より大きい確率は$

$P=(3+20+63+144+275)\times \dfrac{1}{36^2}=\dfrac{505}{1296}$


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