広島大学(理系) 2024年 問題1
$A,\ B,\ C,\ D,\ E\ の \ 5\ 人が、それぞれゲーム \ \alpha \ とゲーム \ \beta \ の \ 2\ 種類のゲームを行った。ゲーム \ \alpha \ の得点を \ x,$
$ゲーム \ \beta \ の得点を \ y\ で表す。下の表はそれぞれのゲームにおける得点である。ただし、a,\ b\ は整数である。$
$なお、得点が負になることもあり得る。$
\[
\hspace{5em}
\begin{array}{|c||c|c|c|c|}
\hline
& A\ \ & B\ \ & C\ \ & D\ \ & E \ \ \\
\hline
得点x& 7& 6 & 8 & a & 4 \\
\hline
得点y& 0& -4 & -1 & 2 & b \\
\hline
\end{array}
\]
$ゲーム \ \alpha \ の得点 \ x\ の平均値は \ 7\ であるとし、ゲーム \ \beta \ の得点 \ y\ の平均値を \ m\ とする。次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ a\ の値を求めよ。$
$(2)\ \ p,\ q\ は実数で、p \ne 0 \ \ とする。ゲーム \ \beta \ の得点 \ y\ を \ z=py+q \ により変換し、新たな変量 \ z\ を作成する。$
$\quad z\ の分散を \ s_z^2、二つの変量 \ x,\ z\ の共分散を \ s_{xz} \ とする。このとき、s_z^2 \ と \ s_{xz}\ を \ p,\ q,\ m\ のうちの必要な$
$\quad ものを用いて表せ。ただし、変量 \ x\ と \ z\ の共分散は \ x\ の偏差と \ z\ の偏差の積の平均値である。$
$(3)\ \ 変量 \ x\ と(2)で作った変量 \ z\ の相関係数が \ \dfrac{3}{4}\ であるとき、m\ と \ b\ の値を求めよ。また、p\ が正であるか$
$\quad 負であるかを答えよ。$
(1)
$ゲーム \ \alpha \ の得点 \ x\ の平均値は \ 7\ だから$
$\overline{x}=\cfrac{1}{5}(7+6+8+a+4)=7$
$25+a=35$
$\therefore \ \ a=10$
(2)
$\overline{y}=\cfrac{1}{5}(0-4-1+2+b)=m \quad より \quad -3+b=5m \qquad b=5m+3$
\begin{eqnarray*} s_y^2 &=&\cfrac{1}{5}\sum_{i=1}^5y_i^2 -\overline{y}^2\\ \\ &=&\cfrac{1}{5}(0+16+1+4+b^2) -m^2\\ \\ &=&\cfrac{1}{5}(21+(5m+3)^2) -m^2\\ \\ &=&\cfrac{1}{5}(25m^2+30m+30) -m^2\\ \\ &=&4m^2+6m+6 \end{eqnarray*}
$z=py+q \quad より \quad \overline{z}=p\overline{y}+q$
\begin{eqnarray*} s_z^2 &=&\cfrac{1}{5}\sum_{i=1}^5(z_i-\overline{z})^2\\ \\ &=&\cfrac{1}{5}\sum_{i=1}^5((py_i+q)-(p\overline{y}+q))^2\\ \\ &=&\cfrac{1}{5}\sum_{i=1}^5p^2(y_i -\overline{y})^2\\ \\ &=&p^2s_y^2\\ \\ &=&p^2(4m^2+6m+6) \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} s_{xz} &=&\cfrac{1}{5}\sum_{i=1}^5(x_i-\overline{x})(z_i-\overline{z})\\ \\ &=&\cfrac{1}{5}\sum_{i=1}^5(x_i-7)p(y_i-\overline{y})\\ \\ &=&\cfrac{p}{5}\sum_{i=1}^5(x_i-7)(y_i-m)\\ \\ &=&\cfrac{p}{5}\big\{ \sum_{i=1}^5x_iy_i - m\sum_{i=1}^5 x_i -7\sum_{i=1}^5 y_i + 7m \sum_{i=1}^5 1\big \}\\ \\ &=&\cfrac{p}{5}\big\{ (-24-8+20+4b)- 35m-7(-3+b) +35m \big \}\\ \\ &=&\cfrac{p}{5}\big\{ (-12+4b)-7(-3+b)\big \}\\ \\ &=&\cfrac{p}{5}(9-3b)\\ \\ &=&\cfrac{p}{5}(9-3(5m+3))\\ \\ &=&-3mp \end{eqnarray*}
(3)
\begin{eqnarray*} s_x^2 &=&\cfrac{1}{5}(49+36+64+100+16)-7^2\\ \\ &=&53-49\\ \\ &=&4 \end{eqnarray*}
$r_{xz}=\cfrac{s_{xz}}{\sqrt{s_x}\sqrt{s_z}}=\cfrac{3}{4} \quad より$
$\cfrac{-3mp}{2\sqrt{p^2(4m^2+6m+6)}}=\cfrac{3}{4}$
(i)$\ \ p > 0 \quad のとき$
$\quad \cfrac{-3mp}{2p\sqrt{4m^2+6m+6}}=\cfrac{3}{4}$
$\quad -2m=\sqrt{4m^2+6m+6}$
$\quad 右辺は正だから \quad m < 0$
$\quad 両辺二乗して \quad 4m^2=4m^2+6m+6$
$\quad m=-1 \quad このとき \quad b=5\times (-1)+3=-2$
(ii)$\ \ p < 0 \quad のとき$
$\quad \cfrac{-3mp}{-2p\sqrt{4m^2+6m+6}}=\cfrac{3}{4}$
$\quad 2m=\sqrt{4m^2+6m+6}$
$\quad 右辺は正だから \quad m > 0$
$\quad 両辺二乗して \quad 4m^2=4m^2+6m+6$
$\quad m=-1 \quad となって不適$
$したがって \quad m=-1,\quad b=-2, \quad p > 0 $
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