広島大学(理系) 2023年　問題4


$数列 \ \{a_n\}\ を \ \ a_1=2, \quad a_{n+1}=\big(\cfrac{n^6(n+1)}{a_n^3}\big)^2 \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots )\ \ により定める。$
$また \quad b_n=\log \cfrac{a_n}{n^2}\ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots )\ \ とおく。次の問いに答えよ。$
\[必要ならば、\lim _{n \rightarrow \infty} \cfrac{n\log _2 n}{6^{2n}} =0 \ \ であることを用いてよい。\] $(1)\ \ b_1,\ \ b_2\ \ を求めよ。$
$(2)\ \ 数列 \ \{b_n\}\ \ は等比数列であることを示せ。$
\[(3)\ \ \lim _{n \rightarrow \infty} \cfrac{1}{6^{2n}} \sum _{k=1}^n \log _2 k =0 \ \ であることを示せ。\] \[(4)\ \ 極限値 \ \ \lim _{n \rightarrow \infty} \cfrac{1}{6^{2n}} \sum _{k=1}^n \log _2 a_{2k}\ \ を求めよ。\]


(1)


$b_1=\log _2a_1=\log _2 2=1$

\begin{eqnarray*} b_2 &=&\log _2 \cfrac{a_2}{2^2}\\ \\ &=&\log _2 \big(\cfrac{2}{a_1^3}\big)^2-\log _2 2^2\\ \\ &=&2\log _2 \cfrac{1}{2^2}-2\log _2 2\\ \\ &=&-2\log _2 2^2-2\\ \\ &=&-4\log _2 2-2\\ \\ &=&-6 \end{eqnarray*}
　

(2)


\begin{eqnarray*} \cfrac{b_{n+1}}{b_n} &=&\cfrac{\log_2\dfrac{a_{n+1}}{(n+1)^2}}{\log _2\dfrac{a_n}{n^2}}\\ \\ &=&\cfrac{\log_2 a_{n+1}-2\log _2 (n+1)}{\log _2 a_n -2\log _2 n}\\ \\ &=&\cfrac{\log_2 \big(\dfrac{n^6(n+1)}{a_n^3}\big)^2 -2\log _2 (n+1)}{\log _2 a_n -2\log _2 n}\\ \\ &=&\cfrac{2\{\log_2 n^6(n+1) - \log _2 a_n^3 \} -2\log _2 (n+1)}{\log _2 a_n -2\log _2 n}\\ \\ &=&\cfrac{2\{6\log_2 n +\log _2 (n+1) - 3\log _2 a_n \} -2\log _2 (n+1)}{\log _2 a_n -2\log _2 n}\\ \\ &=&\cfrac{6(2\log_2 n - \log _2 a_n) }{\log _2 a_n -2\log _2 n}\\ \\ &=&-6 \end{eqnarray*}
$b_{n+1}=-6b_n \quad だから\ \ 数列 \ \{b_n\}\ \ は \ \ b_1=1,\quad 公比 \ -6\ \ の等比数列である。$


(3)


\begin{eqnarray*} & &\cfrac{1}{6^{2n}} \sum _{k=1}^n \log _2 k\\ \\ &=&\cfrac{1}{6^{2n}} (\log _2 1 + \log_2 2 +\cdots + \log _2 n)\\ \\ &<&\cfrac{1}{6^{2n}} (\log _2 n + \log_2 n +\cdots + \log _2 n)\\ \\ &=&\cfrac{n\log _2 n}{6^{2n}} \\ \end{eqnarray*} $\quad n \longrightarrow \infty \quad のとき \quad \cfrac{n\log _2 n}{6^{2n}} \longrightarrow 0 $

\[明らかに \quad 0 < \cfrac{1}{6^{2n}} \sum _{k=1}^n \log _2 k \quad だから　はさみうちの原理により\] \[\quad \lim _{n \rightarrow \infty}\cfrac{1}{6^{2n}} \sum _{k=1}^n \log _2 k =0\]

(4)


$(1),(2)より\ \ \{b_n\}\ \ は \ \ b_1=1 ,\ \ 公比 \ -6\ の等比数列だから \quad b_n=(-6)^{n-1}$

$\{b_n\}\ の偶数項は、初項 \ -6,\ \ 公比 \ \ 6^2\ \ の等比数列だから \quad b_{2n}=-6 \times (6^2)^{n-1}=-6^{2n-1}$

$よって \quad b_{2n}=\log _2 \cfrac{a_{2n}}{(2n)^2}= -6^{2n-1}$

$\log _2 a_{2n} -\log _2(2n)^2 =-6^{2n-1}$

\begin{eqnarray*} \log _2 a_{2n} &=&2\log _2(2n)-6^{2n-1}\\ \\ &=&2(\log _2 2 +\log _2 n) -6^{2n-1}\\ \\ &=&2(1 +\log _2 n) -6^{2n-1}\\ \end{eqnarray*}
$よって$
\begin{eqnarray*} & &\cfrac{1}{6^{2n}} \sum _{k=1}^n \log _2 a_{2k}\\ \\ &=&\cfrac{1}{6^{2n}} \sum _{k=1}^n \{2(1 +\log _2 k) -6^{2k-1}\}\\ \\ &=&\cfrac{2n}{6^{2n}} + \cfrac{2}{6^{2n}}\sum _{k=1}^n \log _2 k -\cfrac{1}{6^{2n}}\sum _{k=1}^n 6^{2k-1}\\ \\ &=&\cfrac{2n}{6^{2n}} + \cfrac{2}{6^{2n}}\sum _{k=1}^n \log _2 k -\cfrac{1}{6^{2n}}\times \cfrac{6(6^{2n}-1)}{6^2-1}\\ \\ &=&\cfrac{2n}{6^{2n}} + \cfrac{2}{6^{2n}}\sum _{k=1}^n \log _2 k - \cfrac{6}{35} \times \cfrac{6^{2n}-1}{ 6^{2n}}\\ \\ &=&\cfrac{2n}{6^{2n}} + \cfrac{2}{6^{2n}}\sum _{k=1}^n \log _2 k - \cfrac{6}{35}(1- \cfrac{1}{6^{2n}})\\ \end{eqnarray*}
$第2項は(3)より0だから $
\[\quad \lim _{n \rightarrow \infty} \cfrac{1}{6^{2n}} \sum _{k=1}^n \log _2 a_{2k}=- \cfrac{6}{35}\]

$\{a_n\} の漸化式および\{b_n\} に数学的あるいは物理的に何か意味があるのかどうかわかりませんが、$
$極限値の値は指示どおり順番に計算すると求まります。$


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