広島大学(理系) 2023年　問題2


$原点を\ O\ とする座標平面上の \ 2\ 点 \ A(3,\ 0),\ B(1,\ 1)\ を考える。\alpha,\ \beta \ を実数とし、点 \ P(\alpha,\ \beta)\ は直線 \ OA\ 上$
$にも直線 \ OB\ 上にもないとする。直線 \ OA\ に関して点 \ P\ と対称な点を \ Q\ とし、直線 \ OB\ に関して点 \ Pと$
$対称な点を \ R\ とする。次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 点 \ Q\ および点 \ R\ の座標を、\alpha , \ \beta \ を用いて表せ。$
$(2)\ \ 直線 \ OA\ と直線 \ QB\ が交点 \ S\ をもつための条件を、\alpha,\ \beta \ のうちの必要なものを用いて表せ。$
$\quad さらに、このときの交点 \ S\ の座標を、\ \alpha,\ \beta \ のうちの必要なものを用いて表せ。$
$(3)\ \ 直線 \ OB\ と直線 \ QR\ が交点 \ T\ をもつための条件を、\alpha,\ \beta \ のうちの必要なものを用いて表せ。$
$\quad さらに、このときの交点 \ T\ の座標を、\alpha,\ \beta \ のうちの必要なものを用いて表せ。$
$(4)\ \ \alpha,\ \beta \ は(2)と(3)の両方の条件を満たすとし、S,\ T\ は \ (2),\ (3)\ で定めた点であるとする。$
$\quad このとき、直線 \ OA\ と直線 \ BS\ が垂直となり、直線 \ OB\ と直線 \ AT\ が垂直となる \ \alpha,\ \beta \ の値を求めよ。$


(1)

　

$直線 \ OA\ は \ x\ 軸だから、点 \ P(\alpha,\ \beta)\ と \ x\ 軸に関して対称な点は \ Q(\alpha,\ -\beta)$

$直線 \ OB\ は \ y=x \ だから、点 \ P(\alpha,\ \beta)\ と \ y=x\ に関して対称な点を \ R(\gamma , \ \delta )$

$とおくと、線分 \ PR\ の中点 \ M\big(\cfrac{\alpha + \gamma}{2},\ \cfrac{\beta + \delta }{2}\big) \ は \ y=x\ 上にあるから$

$\cfrac{\alpha + \gamma}{2}=\cfrac{\beta + \delta }{2} $

$\gamma + \alpha =\delta + \beta \hspace{5em}①$

$線分 \ PR\ と \ y=x\ は直交するから、\cfrac{\delta - \beta}{\gamma - \alpha } \times 1=-1$

$\gamma - \alpha =-(\delta - \beta) \hspace{5em}②$

$①+②\ \ より \quad 2\gamma =2\beta \qquad \therefore \ \ \gamma =\beta$

$①に代入して \quad \beta + \alpha =\delta + \beta \qquad \therefore \ \ \delta =\alpha $

$よって \quad R(\beta,\ \alpha)$


(2)

　

$直線 \ OA\ は \ x\ 軸であるから、直線 \ QR\ と交点をもたないのは、$

$直線 \ QR\ が \ x\ 軸に平行なときである。$

$そのとき \ QR\ の傾きは \ 0\ だから \quad \alpha +\beta=0$

$したがって、 直線 \ OA\ と直線 \ QB\ が交点 \ S\ をもつための条件は$

$\quad \alpha + \beta \ne 0$

$直線 \ QR\ の方程式は \quad y=\cfrac{-\beta - \alpha}{\alpha - \beta}(x-\alpha)-\beta $

$x\ 軸との交点は \ \ y=0 \ \ だから$

$\cfrac{-\beta - \alpha}{\alpha - \beta}(x-\alpha)-\beta =0$

$-(\beta + \alpha)(x-\alpha)=\beta (\alpha -\beta)$

$-(\alpha +\beta)x=\beta (\alpha -\beta)-(\alpha +\beta)\alpha$

$-(\alpha +\beta)x=-\alpha ^2 - \beta ^2$

$(\alpha +\beta)x=\alpha ^2 + \beta ^2 $

$\alpha + \beta \ne 0 \ \ だから \quad x=\cfrac{\alpha ^2 + \beta ^2}{\alpha + \beta}$

$したがって \quad S(\cfrac{\alpha ^2 + \beta ^2}{\alpha + \beta},\ 0)$


(3)

　

$直線 \ OB\ と直線 \ QR\ が交点をもたないのは、$

$互いに平行なときである。直線 \ OB\ の傾きは \ 1\ だから$

$直線 \ QR\ の傾きも \ 1\ である。$

$\cfrac{\alpha +\beta}{\beta -\alpha }=1$

$\alpha +\beta =\beta - \alpha \qquad \therefore \ \ \alpha =0$

$したがって\ \ 直線 \ OB\ と直線 \ QR\ が交点 \ T\ をもつための条件は$

$\quad \alpha \ne 0$

$このとき交点は$

$\cfrac{-\beta - \alpha}{\alpha - \beta}(x-\alpha)-\beta =x$

$-(\alpha + \beta)(x-\alpha)=(\alpha -\beta)(x+ \beta)$

$2\alpha x=\alpha ^2 + \beta ^2 \qquad \therefore \ \ x=\cfrac{\alpha ^2 + \beta ^2}{2\alpha}$

$したがって \quad T(\cfrac{\alpha ^2 + \beta ^2}{2\alpha} , \ \cfrac{\alpha ^2 + \beta ^2}{2\alpha} )$


(4)

　

(i)$\ \ 直線 \ OA\ と直線 \ BS\ が垂直$

$\quad OA\ は \ x\ 軸だから \ BS\ は \ y\ 軸に平行である。$

$\quad すなわち \ \ 点 \ B\ と点 \ S\ の \ x\ 座標は一致する。$

$\quad \cfrac{\alpha ^2 + \beta ^2}{\alpha + \beta}=1$

$\quad \alpha ^2 + \beta ^2 =\alpha + \beta \hspace{5em}①$

(ii)$\ \ 直線 \ OB\ と直線 \ AT\ が垂直$

$\quad 直線 \ OB\ の傾きは \ 1\ だから直線 \ AT\ の傾きは \ -1\ である。$

$\quad \cfrac{\dfrac{\alpha ^2 + \beta ^2}{2\alpha}}{\dfrac{\alpha ^2 + \beta ^2}{2\alpha}-3}=-1$

$\quad \cfrac{\alpha ^2 + \beta ^2}{\alpha ^2 + \beta ^2 -6\alpha }=-1$

$\quad \alpha ^2 + \beta ^2= -\alpha ^2 - \beta ^2 +6\alpha$

$\quad \alpha ^2 + \beta ^2 -3 \alpha =0 \hspace{5em}②$

$①を②に代入して \quad \alpha + \beta -3\alpha =0$

$\beta =2\alpha \hspace{5em}③$

$②に代入して \quad \alpha ^2+4\alpha ^2 - 3\alpha=0$

$\alpha (5\alpha -3)=0$

$点 \ P(\alpha,\ \beta)\ は直線 \ OA\ 上にないから \quad \beta \ne 0$

$したがって ③より \quad \alpha \ne 0$

$よって \quad \alpha =\cfrac{3}{5}$

$③に代入して \quad \beta =\cfrac{6}{5}$


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