広島大学(理系) 2021年 問題4
$a,\ b,\ c\ を実数とし、2\ 次方程式 \ \ x^2+x-(c-1)=0 \ \ が実数解 \ \ \alpha ,\ \ \beta \ \ (\alpha < \beta )\ \ をもつとする。さらに、$
$二つの等式 \quad a+b=c^2,\quad a\alpha +b\beta + c=0 \quad が成り立つとき、次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ \alpha,\ \ \beta \ \ および \ \ b-a \ \ を、それぞれ \ c\ を用いて表せ。$
$以下において、a,\ b,\ c\ を自然数とする。$
$(2)\ \ \sqrt{4c-3}\ \ が自然数でないとき、自然数 \ a,\ b,\ c\ の組を求めよ。$
$(3)\ \ 自然数 \ s\ を用いて、4c-3=s^2\ \ と表せるとき、s\ と \ a\ は$
$\qquad 等式 \quad s^5-s^4+6s^3+2s^2+(9-32a)s=-15 \quad を満たすことを示せ。$
$(4)\ \ (3)のとき、自然数 \ a,\ b,\ c\ の組をすべて求めよ。$
$(解説)$
$(1)\ \ 解の公式で求まります。実数解には大小関係があります。$
$(2)\ \ 「自然数でない」という言い方は微妙です。$
$(3)\ \ b\ と \ c\ を消去することになります。$
$(4)\ \ 9-32a\ \ について解いて、これが自然数であることを使います。$
(1)
$x^2+x-(c-1)=0 \quad の解は \quad x=\cfrac{-1 \pm \sqrt{1+4(c-1)}}{2}=\cfrac{-1 \pm \sqrt{4c-3}}{2} $
$\alpha ,\ \ \beta \ \ はこの実数解で、\alpha < \beta \quad だから \quad \alpha =\cfrac{-1 - \sqrt{4c-3}}{2} ,\quad \beta=\cfrac{-1 + \sqrt{4c-3}}{2}$
$これらを \quad a\alpha +b\beta + c=0 \quad に代入して$
$\quad a \times \cfrac{-1 - \sqrt{4c-3}}{2} +b \times \cfrac{-1 + \sqrt{4c-3}}{2} + c=0$
$-a(1 + \sqrt{4c-3}) +b (-1 + \sqrt{4c-3}) +2c=0$
$-(a+b) + \sqrt{4c-3}(b-a) +2c=0$
$a+b=c^2 \quad を代入して \qquad -c^2 + \sqrt{4c-3}(b-a) +2c=0$
$\sqrt{4c-3}(b-a)=c^2-2c \hspace{10em} ①$
$\therefore \ \ b-a=\cfrac{c^2-2c}{\sqrt{4c-3}}$
(2)
$①より \quad \sqrt{4c-3}(b-a)=c^2-2c \quad において$
$左辺は、b-a \ \ \ne 0 \ \ ならば、自然数でない \ \ \sqrt{4c-3}\ と自然数 \ \ b-a \ の積だから自然数ではない。$
$一方、右辺は自然数だから、これは矛盾である。したがって、b-a=0 \quad すなわち \quad b=a $
$このとき \quad c^2-2c=0 \qquad c(c-2)=0 \quad c\ は自然数だから \quad c \ne 0 \quad よって \quad c=2$
$a+b=c^2 \quad より \quad a+b=4$
$したがって \quad a=b=2$
$以上より \qquad a=b=c=2$
(3)
$4c-3=s^2 \quad より \quad c=\cfrac{s^2+3}{4} \hspace{10em}②$
$a+b=c^2 \quad より \quad b=c^2-a=\big(\cfrac{s^2+3}{4}\big)^2 -a$
$よって \quad b-a=\big(\cfrac{s^2+3}{4}\big)^2-2a \hspace{10em}③$
$②と③を①に代入して$
$s\big\{\big(\cfrac{s^2+3}{4}\big)^2 -2a\big\}= (\cfrac{s^2+3}{4})^2 - 2 \times \cfrac{s^2+3}{4} $
$\cfrac{s}{16}(s^2+3)^2-2as=\cfrac{1}{16}(s^2+3)^2 - \cfrac{1}{2}(s^2+3)$
$s(s^4+6s^2+9) - 32as=(s^4+6s^2+9) - 8(s^2+3)$
$\quad \therefore \ \ s^5-s^4+6s^3+2s^2+(9-32a)s=-15$
(4)
$s \ne 0 \quad だから \ \ (3)より \quad 9-32a=-s^4+s^3-6s^2-2s-\cfrac{15}{s}$
$左辺は整数だから s\ は \ 15\ の約数 \quad よって \quad s=1,\ 3,\ 5,\ 15$
(i)$\ \ s=1\ \ のとき$
$\quad ②に代入して \quad c=1$
$\quad ①に代入して \quad b-a=-1$
$\quad a+b=c^2 \quad に代入して \quad a+b=1$
$\quad これを解くと \quad b=0 \quad となるから不適(bは自然数)$
(ii)$\ \ s=3 \ \ のとき$
$\quad ②に代入して \quad c=3$
$\quad ①に代入して \quad 3(b-a)=3 \qquad b-a=1$
$\quad a+b=c^2 \quad に代入して \quad a+b=9$
$\quad これを解いて \quad a=4,\ \ b=5$
(iii)$\ \ s=5 \ \ のとき$
$\quad ②に代入して \quad c=7$
$\quad ①に代入して \quad 5(b-a)=35 \qquad b-a=7$
$\quad a+b=c^2 \quad に代入して \quad a+b=49$
$\quad これを解いて \quad a=21,\ \ b=28$
(iv)$\ \ s=15 \ \ のとき$
$\quad ②に代入して \quad c=57$
$\quad ①に代入して \quad 15(b-a)=195 \qquad b-a=209$
$\quad a+b=c^2 \quad に代入して \quad a+b=3249$
$\quad これを解いて \quad a=1520,\ \ b=1729$
$以上より \quad (a,\ b,\ c)=(4,\ 5,\ 3),\ (21,\ 28,\ 7),\ (1520,\ 1729,\ 57)$
メインメニュー に戻る