広島大学(理系) 2020年 問題5
$1個のさいころを3回投げる。1回目に出た目を \ a_1,\ 2回目に出た目を \ a_2,\ 3回目に出た目を \ a_3\ とする。$
$次に、1枚の硬貨を3回投げる。k=1,2,3に対し、k回目に表が出た場合は \ b_k=1,裏が出た場合は$
$\ b_k=a_k\ とおく。ベクトル \ \vec{a}=(a_1,a_2,a_3),\ \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)\ を考える。次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ a_1+a_2+a_3=7\ \ である確率を求めよ。$
$(2)\ \ b_1である確率を求めよ。$
$(3)\ \ \vec{b}=(1,1,1)\ であったとき、\vec{a}=(1,1,5)\ である条件付き確率を求めよ。$
$(4)\ \ \vec{b}=(1,1,1)\ であったとき、a_1+a_2+a_3=7\ である条件付き確率を求めよ。$
$(解説)$
$(1)\ \ 場合の数は、樹形図や順序対(問題文ではベクトルとなっています)で、もれなく、重なりなく求めます。$
$(2)\ \ b_1=1\ の確率を正しく求めることがこの問題全体のポイントです。$
$(3)\ \ \vec{a}=(1,1,5)\ の意味は \ a_1=1\ かつ \ a_2=1\ かつ \ a_3=5\ のことです。$
$(4)\ \ a_1+a_2+a_3=7\ となる \ (a_1,a_2,a_3)\ の組は15通りもありますので、まとめて処理します。$
(1)
$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)\ を樹形図で表すと$
$\hspace{5em} $
$全部で15通りあるが、さいころ投げではどの目が出るかは同程度に確からしいので、$
$\quad 求める確率はP=\cfrac{15}{6^3}=\cfrac{5}{72}$
$(別解)$
$ a_1+a_2+a_3=7\ \ (a_1,\ a_2,\ a_3 \geqq 1)\ \ となる場合の数は、a_1,\ a_2,\ a_3\ それぞれ6個から、まず、1個ずつ選び、$
$次に重複を許して4個取り出す重複組合わせとなる。$
$例えば、a_1を2個,a_2を3個,a_3を2個選んだとすると、1回目に出た目は2,\ \ 2回目に出た目は3,\ \ 3回目に出た目は$
$2となります。$
$したがって、全部で \quad _3H_4=_6C_4=_6C_2=\cfrac{6 \times 5}{2}=15\ (通り)$
$ただし、この別解で求めても、(4)では\ (a_1,a_2,a_3)\ が必要となります。$
(2)
$b_1=1 \ \ となるのは$
(i)$\ \ 硬貨を投げて表が出た場合$
(ii)$\ \ 硬貨を投げて裏が出たが、さいころを投げて1回目に出た目が1だった場合$
$の2通りがある。この2つの事象は互いに排反である。$
(i)$の確率は \quad \cfrac{1}{2},\qquad $(ii)$の確率は \quad \cfrac{1}{2} \times \cfrac{1}{6} \quad だから$
$求める確率は \quad P=\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{2} \times \cfrac{1}{6}=\cfrac{7}{12}$
(3)
$\vec{a}=(1,1,5)\ となる事象をA,\ \vec{b}=(1,1,1)\ となる事象をBとする。$
$求める条件付き確率は \quad P_B(A)=\cfrac{P(B \cap A)}{P(B)}=\cfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$
$(2)より \quad b_1=1 \ \ となる確率は \ \ \cfrac{7}{12}\ \ であるが、b_2=1,\ b_3=1\ \ となる確率も同様に \ \ \cfrac{7}{12}\ \ である。$
$よって、P(B)=(\cfrac{7}{12})^3$
$事象A \cap B \ \ は \ \ \{a_1=1 \ \ かつ \ \ b_1=1\}\cap \{a_2=1 \ \ かつ \ \ b_2=1\}\cap \{a_3=5 \ \ かつ \ \ b_3=1\}\ \ であるが$
$a_1=1 \quad ならば \ 硬貨投げで表が出ても裏が出ても \ b_1=1 \ となるから \quad P(\{a_1=1 \ \ かつ \ \ b_1=1\})=\cfrac{1}{6}$
$同様にして \quad P(\{a_2=1 \ \ かつ \ \ b_2=1\})=\cfrac{1}{6}$
$a_3=5 \ \ となる確率は \ \ \cfrac{1}{6}\ \ であるが、b_3=1\ \ となるのは硬貨投げで表が出る場合だけであるから$
$\quad P(\{a_3=5 \ \ かつ \ \ b_3=1\})=\cfrac{1}{6}\times \cfrac{1}{2}=\cfrac{1}{12}$
$したがって \quad P(A \cap B)=\cfrac{1}{6} \times \cfrac{1}{6} \times \cfrac{1}{12}$
$ゆえに \quad P_B(A)=\cfrac{P(A \cap B)}{P(B)}=\cfrac{\cfrac{1}{6} \times \cfrac{1}{6} \times \cfrac{1}{12}}{(\cfrac{7}{12})^3}=\cfrac{4}{343}$
(4)
$ a_1+a_2+a_3=7 となる事象を \ C,\quad \vec{b}=(1,1,1)\ となる事象をBとおく。$
$(1)より \quad a_1+a_2+a_3=7 \quad となる根元事象 \ (a_1,a_2,a_3)\ は全部で15通りあるが,$
$1を含む個数で場合分けすると((1)の樹形図で1を赤色で書いてあるのはそのためです)$
(i)$\ \ 0個 は \quad (2,2,3),(2,3,2),(3,2,2)\ \ の3通り$
(ii)$\ \ 1個 は \quad (1,2,4),(1,3,3),(1,4,2),(2,1,4),(2,4,1),(3,1,3),(3,3,1),(4,1,2),(4,2,1)\ \ の9通り$
(iii)$\ \ 2個 は \quad (1,1,5),(1,5,1),(5,1,1)\ \ の3通り$
$(3)で調べたように$
$\qquad P(\{a_k=1 \ \ かつ \ \ b_k=1\})=\cfrac{1}{6},\qquad P(\{a_k \ne 1 \ \ かつ \ \ b_k=1\})=\cfrac{1}{12}$
$したがって\ \ $(i),(ii),(iii)$について \ \ C \cap B の各根元事象の確率はそれぞれ \quad (\cfrac{1}{12})^3 ,\quad (\cfrac{1}{12})^2 \times \cfrac{1}{6} ,\quad \cfrac{1}{12} \times (\cfrac{1}{6})^2 $
$ゆえに \quad P(C \cap B)=(\cfrac{1}{12})^3 \times 3+(\cfrac{1}{12})^2 \times \cfrac{1}{6} \times 9+\cfrac{1}{12} \times (\cfrac{1}{6})^2 \times 3=\cfrac{1}{12} \times \cfrac{11}{2^4 \cdot 3}$
$\therefore \quad P_B(C)=\cfrac{P(C \cap B)}{P(B)}=\cfrac{\dfrac{1}{12} \times \dfrac{11}{2^4 \cdot 3}}{(\dfrac{7}{12})^3}=\cfrac{33}{343}$
$なお、(3)と(4)は、\vec{b}=(1,1,1)という情報が得られたとき、その前に行ったさいころ投げで \ \ \vec{a}=(1,1,5),$
$あるいは \ \ a_1+a_2+a_3=7\ \ だったという「原因の確率」を求める問題です。$
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