MY MATH NOTE

広島大学(理系) 2020年　問題4

$nを正の整数とする。次の問いに答えよ。$
\[(1)\ \ 定積分 \int _0^{\small{\cfrac{\pi}{n}}} \sin nxdx \ \ の値を求めよ。\] \[(2)\ \ 定積分 \int _0^{\pi}|\sin nx|dx \ \ の値を求めよ。\] $\qquad (3)\ \ 座標平面において連立不等式 \ \ 0 \leqq x \leqq \pi , \ \ 0 \leqq y \leqq \cfrac{1}{2}, \ \ y \leqq |\sin nx |\ \ の表す図形を、x軸のまわりに$
$\hspace{4em} 1回転してできる回転体の体積を求めよ。$
$\qquad (4)\ \ 座標平面において連立不等式 \ \ 0 \leqq x \leqq \pi , \ \ 0 \leqq y \leqq \sqrt{x}|\sin nx |\ \ の表す図形を、x軸のまわりに$
$\hspace{4em} 1回転してできる回転体の体積を求めよ。$

(1)

(2)

　
$y=|\sin nx|\ のグラフは右図のとおりで、周期\cfrac{\pi}{n}の周期関数$
$であるから、区間[0,\pi]に同じものがn個ある。$

\begin{eqnarray*} \int _0^{\pi}|\sin nx|dx &=&n \times \int _0^{\small{\cfrac{\pi}{n}}}\sin nxdx\\ &=&n \times \cfrac{2}{n}\\ &=&2 \end{eqnarray*}

(3)

　
$右図は、1周期分 \ \ [0,\cfrac{\pi}{n}]\ \ のグラフです。グラフは直線 \ \ x=\cfrac{\pi}{2n}\ \ で$
$対称ですから、図の緑色の領域と紫色の領域をそれぞれx軸の回りに$
$回転した体積V'を求め、2n\ 倍すれば求める体積Vとなります。$

$なお、y=\sin nx \ \ と \ \ y=\cfrac{1}{2}\ \ の交点は$

$\qquad \sin nx=\cfrac{1}{2}\quad より \quad nx=\cfrac{\pi}{6} \quad \therefore x=\cfrac{\pi}{6n}$

\begin{eqnarray*} V' &=&\pi \int _0^{\small{\cfrac{\pi}{6n}}}\sin ^2 nx dx+\pi\int _{\small{\cfrac{\pi}{6n}}}^{\small{\cfrac{\pi}{2n}}}\big(\cfrac{1}{2}\big)^2dx \\ \\ &=&\cfrac{\pi}{2} \int _0^{\small{\cfrac{\pi}{6n}}}(1-\cos 2nx) dx+\pi\int _{\small{\cfrac{\pi}{6n}}}^{\small{\cfrac{\pi}{2n}}}\cfrac{1}{4}dx \\ \\ &=&\cfrac{\pi}{2} \Big[x-\cfrac{1}{2n}\sin 2nx \Big] _0^{\small{\cfrac{\pi}{6n}}} + \cfrac{\pi}{4}\Big[\ x\ \Big] _{\small{\cfrac{\pi}{6n}}}^{\small{\cfrac{\pi}{2n}}}\\ \\ &=&\cfrac{\pi}{2} \big(\cfrac{\pi}{6n}-\cfrac{1}{2n}\sin \cfrac{\pi}{3} \big) + \cfrac{\pi}{4} \big(\cfrac{\pi}{2n}-\cfrac{\pi}{6n}\big)\\ \\ &=&\cfrac{\pi}{2} \big(\cfrac{\pi}{6n}-\cfrac{\sqrt{3}}{4n}\big) + \cfrac{\pi}{4} \times \cfrac{\pi}{3n}\\ \\ &=&\cfrac{\pi ^2}{6n} -\cfrac{\sqrt{3}\pi}{8n}\\ \end{eqnarray*}
$ゆえに$
\begin{eqnarray*} V &=&2nV'\\ &=&2n\big(\cfrac{\pi ^2}{6n} -\cfrac{\sqrt{3}\pi}{8n}\big)\\ \\ &=&\cfrac{\pi ^2}{3} -\cfrac{\sqrt{3}\pi}{4}\\ \end{eqnarray*}

(4)

　
$右図は、グラフ作成ソフトで描いたグラフですが$
(i)$\ \ y=\sqrt{x} \ \ は単調増加関数である。$
(ii)$\ \ y=\sqrt{x}\sin nx \ \ のグラフは \ \ y=\sqrt{x}\ \ (図では赤色で$
$\quad 示されています)と \ \ y=-\sqrt{x}\ \ に挟まれている。$

$ことから、このようなグラフになることは予想できます。$
$まさか微分して増減を調べるなんてことはしないでください。$
$(余分なことですが、y=e^x\sin x \ \ や \ \ y=e^{-x}\sin x \ \ の$
$グラフを思い出してください)$

$緑色で塗ったk番目の山状の領域1個分の体積 \ V_k\ は$
\[V_k=\pi\int _{\small{\cfrac{(k-1)\pi}{n}}}^{\small{\cfrac{k\pi}{n}}} x\sin ^2nxdx\] $全部の和が求める体積Vであるから$

\begin{eqnarray*} V &=&V_1+V_2+V_3+\cdots +V_n\\ \\ &=&\pi \int _0^{\small{\cfrac{\pi}{n}}} x\sin ^2nxdx+ \pi \int _{\small{\cfrac{\pi}{n}}}^{\small{\cfrac{2\pi}{n}}} x\sin ^2nxdx+ \pi \int _{\small{\cfrac{2\pi}{n}}}^{\small{\cfrac{3\pi}{n}}} x\sin ^2nxdx+ \cdots + \pi \int _{\small{\cfrac{(n-1)\pi}{n}}}^{\pi} x\sin ^2nxdx\\ &=&\pi\int _0^{\pi} x\sin ^2 nxdx\\ &=&\cfrac{\pi}{2}\int _0^{\pi} x(1-\cos 2nx)dx\\ \\ &=&\cfrac{\pi}{2}\big\{\Big[x(x-\cfrac{\sin 2nx}{2n})\Big]_0^{\pi}-\int _0^{\pi} (x-\cfrac{\sin 2nx}{2n})dx\big\}\\ \\ &=&\cfrac{\pi}{2}\big\{\pi ^2-\Big[\cfrac{x^2}{2}+\cfrac{\cos 2nx}{4n^2}\Big]_0^{\pi}\big\}\\ \\ &=&\cfrac{\pi}{2}\big(\pi ^2-\cfrac{\pi^2}{2}\big)\\ \\ &=&\cfrac{\pi^3}{4}\\ \end{eqnarray*}

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