弘前大学(理系) 2023年 問題6
$自然数 \ nに対して、複素数 \ z_n \ を \ z_n=(1+\sqrt{3} i)^n \ と定める。ただし、i\ は虚数単位とする。$
$次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ z_8 \ の虚部を求めよ。$
$(2)\ \ 不等式 \ |z_n|> |z_n -2\cdot 10^{10} i|\ \ を満たす自然数 \ n\ を求めよ。必要があれば、3.3 < \log _2 10 < 3.4 $
$\quad であることを用いてよい。$
(1)
\begin{eqnarray*} z_n &=&(1+\sqrt{3} i)^n \\ \\ &=&\big(2(\cfrac{1}{2}+\cfrac{\sqrt{3}}{2}i)\big)^n\\ \\ &=&2^n(\cos \cfrac{\pi}{3}+i\sin \cfrac{\pi}{3})^n\\ \\ &=&2^n(\cos \cfrac{n}{3}\pi +i\sin \cfrac{n}{3}\pi) \\ \end{eqnarray*} $z_n \ の虚部は \ \ Im (z_n)=2^n \sin \cfrac{n}{3}\pi \quad だから$
\begin{eqnarray*} Im (z_8) &=&2^8 \sin \cfrac{8}{3}\pi\\ \\ &=&2^8 \times \sin \cfrac{2}{3}\pi\\ \\ &=&2^8 \times \cfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \\ &=&2^7\sqrt{3}\\ \\ &=&128\sqrt{3} \end{eqnarray*}
(2)
$|z_n|^2=(2^n)^2=2^{2n}$
\begin{eqnarray*} & &|z_n -2\cdot 10^{10} i|^2\\ \\ &=&|2^n(\cos \cfrac{n}{3}\pi +i\sin \cfrac{n}{3}\pi) - 2\cdot 10^{10} i|^2\\ \\ &=&|2^n \cos \cfrac{n}{3}\pi +i\big( 2^n\sin \cfrac{n}{3}\pi - 2\cdot 10^{10}\big)|^2\\ \\ &=&2^{2n} \cos ^2 \cfrac{n}{3}\pi + \big( 2^n\sin \cfrac{n}{3}\pi - 2\cdot 10^{10}\big)^2\\ \\ &=&2^{2n} \cos ^2 \cfrac{n}{3}\pi + 2^{2n} \sin ^2 \cfrac{n}{3}\pi -2 \times 2^n\sin \cfrac{n}{3}\pi \times 2\cdot 10^{10} + 2^2 \cdot 10^{20}\\ \\ &=&2^{2n} -2^{n+2} 10^{10} \sin \cfrac{n}{3}\pi + 2^2 \cdot 10^{20}\\ \end{eqnarray*}
$|z_n|^2 > |z_n -2\cdot 10^{10} i|^2 \ \ より$
$2^{2n} > 2^{2n} -2^{n+2} 10^{10} \sin \cfrac{n}{3}\pi + 2^2 \cdot 10^{20}$
$2^{n+2} 10^{10} \sin \cfrac{n}{3}\pi > 2^2 \cdot 10^{20}$
$2^n \sin \cfrac{n}{3}\pi > 10^{10}$
$k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots \ \ として$
(i)$\ \ n=6k\ \ のとき$
$\quad 2^{6k} \sin \cfrac{6k}{3}\pi > 10^{10}$
$\quad 2^{6k} \sin 2k \pi > 10^{10}$
$\quad 左辺=0 \ \ だから \ \ 不適$
(ii)$\ \ n=6k+1 \ \ のとき$
$\quad 2^{6k+1} \sin \cfrac{6k+1}{3}\pi > 10^{10}$
$\quad 2^{6k+1} \sin \cfrac{\pi}{3} > 10^{10}$
$\quad 2^{6k+1} \times \cfrac{\sqrt{3}}{2} > 10^{10}$
$\quad 2^{6k} \sqrt{3} > 10^{10}$
$\quad 両辺底 \ 2\ の対数をとって$
$\quad 6k+\log _2\sqrt{3} > 10\log _2 10$
$\quad 6k > 10\log _2 10 - \cfrac{1}{2} \log _2 3$
$\quad ここで、3.3 < \log _2 10 < 3.4 \quad だから \quad 33 < 10\log _2 10 < 34$
$\quad \log _2 2 < \log _2 3 < \log _2 4 \quad だから \quad 0.5 <\cfrac{1}{2}\log _2 3 < 1$
$\quad \therefore \ \ 32 < 10\log _2 10 - \cfrac{1}{2} \log _2 3 < 33.5$
$\quad したがって \quad 6k >34 \quad これを満たす最小の自然数は \ \ k=6$
$\quad よって \quad n=6 \times 6 +1=37$
(iii)$\ \ n=6k+2 \ \ のとき$
$\quad 2^{6k+2} \sin \cfrac{6k+2}{3}\pi > 10^{10}$
$\quad 2^{6k+2} \sin \cfrac{2}{3}\pi > 10^{10}$
$\quad 2^{6k+2} \times \cfrac{\sqrt{3}}{2} > 10^{10}$
$\quad 2^{6k+1} \sqrt{3} > 10^{10}$
$\quad 両辺底 \ 2\ の対数をとって$
$\quad 6k+1 +\log _2\sqrt{3} > 10\log _2 10$
$\quad 6k+1 > 10\log _2 10 - \cfrac{1}{2} \log _2 3$
$\quad $(ii)$\ \ より \quad 6k+1 > 34 \quad これを満たす最小の自然数は \ \ k=6$
$\quad よって \quad n=6 \times 6 +2=38$
(iv)$\ \ n=6k+3 \ \ のとき \quad \sin \cfrac{n}{3}\pi =0 \quad となって不適$
(v)$\ \ n=6k+4,\ \ 6k+5 \ \ のとき \quad \sin \cfrac{n}{3}\pi < 0 \quad となって不適$
$以上より求める最小の自然数は \quad n=37$
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