弘前大学(理系) 2023年　問題5


$関数 \ f(x)=\cfrac{1}{\sqrt{x+1}}\ \ を考える。曲線 \ C:y=f(x)\ 上の点 \ (1,\ f(1))\ における接線を \ \ell \ とする。$
$次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 関数 \ f(x)\ の導関数と第 \ 2\ 次導関数を求めよ。$
$(2)\ \ 直線 \ \ell \ の方程式を求めよ。$
$(3)\ \ 曲線 \ C\ と直線 \ \ell 、および \ y\ 軸で囲まれた部分の面積を求めよ。$


(1)


$f(x)=\cfrac{1}{\sqrt{x+1}}=(x+1)^{-\scriptsize{\cfrac{1}{2}}} \quad より$

$f'(x)=-\cfrac{1}{2}(x+1)^{-\scriptsize{\cfrac{3}{2}}}=-\cfrac{1}{2(x+1)\sqrt{x+1}}$

$f''(x)=(-\cfrac{1}{2})(-\cfrac{3}{2})(x+1)^{-\scriptsize{\cfrac{5}{2}}}=\cfrac{3}{4(x+1)^2\sqrt{x+1}}$


(2)


$f(1)=\cfrac{1}{\sqrt{2}}=\cfrac{\sqrt{2}}{2}$

$f'(1)=-\cfrac{1}{2 \times 2 \times \sqrt{2}}=-\cfrac{\sqrt{2}}{8}$

$点 \ (1,\ f(1))\ における接線 \ \ell \ は$

$y=f'(1)(x-1)+f(1) \quad だから$

$y=-\cfrac{\sqrt{2}}{8}(x-1)+\cfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\therefore \ \ \ell : y=-\cfrac{\sqrt{2}}{8}x +\cfrac{5\sqrt{2}}{8}$


(3)


　

\begin{eqnarray*} S &=&\int _0^1\big \{\cfrac{1}{\sqrt{x+1}} - \big(- \cfrac{\sqrt{2}}{8}x +\cfrac{5\sqrt{2}}{8}\big)\big \}dx\\ \\ &=&\int _0^1\big ((x+1)^{-\scriptsize{\cfrac{1}{2}}}+ \cfrac{\sqrt{2}}{8}x - \cfrac{5\sqrt{2}}{8}\big)dx\\ \\ &=&\big[ 2(x+1)^{\scriptsize{\cfrac{1}{2}}} + \cfrac{\sqrt{2}}{16}x^2 - \cfrac{5\sqrt{2}}{8} x \big] _0^1\\ \\ &=&2\sqrt{2}+ \cfrac{\sqrt{2}}{16} - \cfrac{5\sqrt{2}}{8} -2\\ \\ &=&\cfrac{23}{16}\sqrt{2} - 2\\ \end{eqnarray*}

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