弘前大学(理系) 2023年　問題4-1


$次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 関数 \ y=\cfrac{3}{x}-\cfrac{1}{x^3}\ の増減、極値、グラフの凹凸および変曲点を調べて、そのグラフをかけ。$


(1)


$y=\cfrac{3}{x}-\cfrac{1}{x^3} \ \ は奇関数だから \ \ x \geqq 0 \ \ の範囲で調べればよい。$

$y'=-\cfrac{3}{x^2}+\cfrac{3}{x^4}=-\cfrac{3(x^2-1)}{x^4}$

$y''=\cfrac{6}{x^3}-\cfrac{12}{x^5}=\cfrac{6(x^2-2)}{x^5}$

$y'=0\ \ より \ \ x=1,\qquad y''=0 \ \ より \ \ x=\sqrt{2}$

$増減表は$
\[ \quad \begin{array}{c||c|c|c|c|c} x & 0 & \cdots & 1 & \cdots & \sqrt{2} & \cdots \\ \hline y' & & + & 0 & - & - & - \\ \hline y'' & & - & - & - & 0 & + \\ \hline y & & \nearrow & 極大 & \searrow & 変曲点 & \nearrow \\ 　& & 上に凸 & & 上に凸 & & 下に凸 \\ \end{array} \]
$x=1\ \ で極大となり、極大値は \ \ y=2$

$x=\sqrt{2}\ \ で変曲点で、 y=\cfrac{3}{\sqrt{2}}-\cfrac{1}{2\sqrt{2}}=\cfrac{5\sqrt{2}}{4}$

$y=\cfrac{3x^2-1}{x^3} \ \ より$

$x \longrightarrow + 0 \ \ のとき \ \ y \longrightarrow - \infty$

$x \longrightarrow + \infty \ \ のとき \ \ y \longrightarrow 0$

　

$グラフは原点について対称だから$

$x=-1 \ \ で極小となり、極小値は \ \ y=-2$

$x=-\sqrt{2} \ \ で変曲点で、y=-\cfrac{3}{\sqrt{2}}-\cfrac{1}{2\sqrt{2}}=-\cfrac{5\sqrt{2}}{4}$

$x \longrightarrow - 0 \ \ のとき \ \ y \longrightarrow + \infty$

$x \longrightarrow - \infty \ \ のとき \ \ y \longrightarrow 0$

$したがって、 x\ 軸.\ y \ 軸は漸近線である。$

$x\ 軸を切る点は \ \ y=0\ \ より \ \ x=\pm \cfrac{\sqrt{3}}{3}$

$グラフは右図のとおり$


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