浜松医科大学 2023年　問題4


$\triangle ABC において、BC=3,\ \ AC=b,\ \ AB=c,\ \ \angle ACB=\theta \ \ とする。b\ と \ c\ を素数とするとき、$
$以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ b=3,\ c=5\ \ \ のとき、\cos \theta \ \ の値を求めよ。$
$(2)\ \ \cos \theta < 0 \ \ のとき、c=b+2 \ \ が成り立つことを示せ。$
$(3)\ \ -\cfrac{5}{8} < \cos \theta < -\cfrac{7}{12} \ \ のとき、b\ と \ c\ の値の組をすべて求めよ。$


(1)

　

\begin{eqnarray*} \cos \theta &=&\cfrac{3^2+b^2-c^2}{2 \times 3 \times b}\\ \\ &=&\cfrac{3^2+3^2-5^2}{2 \times 3 \times 3}\\ \\ &=&-\cfrac{7}{18}\\ \end{eqnarray*}

(2)


$\cos \theta < 0 \quad より \ \ \theta \ \ は鈍角となり、\triangle ABC \ \ は鈍角三角形$

$よって \ \ AB\ は最大辺であるから \quad c > 3 ,\quad c > b \hspace{3.5em}①$

$また、三角形の成立条件より \quad |b-3| < c < b+3 \hspace{3em}②$

$b\ は素数だから$

(i)$\ \ b=2 \quad のとき$

$\quad ②より \quad 1 < c < 5$

$\quad ①より \quad c > 3 $

$\quad 合わせて \quad 3 < c < 5$

$\quad c\ は整数だから \quad c=4 \quad しかしこれは \ c\ が素数であることに反する。$

(ii)$\ \ b \ne 2 \quad のとき$

$\quad b\ は奇数だから \quad b=2k+1\ \ (k\ は整数)\ \ とおける。$

$\quad ②に代入して \quad b \geqq 3 \quad だから$

$\quad 2k-2 < c < 2k+4$

$\quad c\ は素数だから \quad c=2k-1,\quad 2k+1,\quad 2k+3 $

$\quad ①より \quad c > b \quad だから \quad 　c > 2k+1 $

$よって \quad c=2k+3$

$ゆえに \quad c=(2k+1)+2=b+2$

(3)


\begin{eqnarray*} \cos \theta &=&\cfrac{9+b^2-c^2}{6b}\\ \\ &=&\cfrac{9+(2k+1)^2-(2k+3)^2}{6(2k+1)}\\ \\ &=&\cfrac{-8k+1}{6(2k+1)}\\ \end{eqnarray*} $-\cfrac{5}{8} < \cos \theta < -\cfrac{7}{12} \quad より$

$-\cfrac{5}{8}< \cfrac{-8k+1}{6(2k+1)} < -\cfrac{7}{12}$

$\cfrac{7}{12}< \cfrac{8k-1}{6(2k+1)} < \cfrac{5}{8}$

$14< \cfrac{4(8k-1)}{2k+1} < 15$

$14(2k+1) < 4(8k-1) < 15(2k+1)$

(i)$\ \ 14(2k+1) < 4(8k-1) \quad より$

$\quad 4k> 18$

$\quad k> \cfrac{9}{2}$

(ii)$\ \ 4(8k-1) < 15(2k+1) \quad より$

$\quad 2k < 19$

$\quad k< \cfrac{19}{2}$

(i),(ii)$\ \ より \quad 　\cfrac{9}{2} < k < \cfrac{19}{2}$

$k\ は整数だから \quad k=5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9$

$このとき順に \quad (b,\ c)=(11,\ 13),\ (13,\ 15),\ (15,\ 17),\ (17,\ 19),\ (19,\ 21)$

$これらのうち、b,\ c\ が素数であるものは \quad (b,\ c)=(11,\ 13),\ (17,\ 19)$


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\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}