群馬大学(医・理系) 2025年　問題5


$以下の問に答えよ。$
$(1)\ \ f(x)=\dfrac{\log x}{x^2}\ \ の増減を調べて極値を求めよ。$
\[(2)\ \ 不定積分 \ \ \int \dfrac{\log x}{x} dx \ \ を求めよ。\] $(3)\ \ k\ は定数とする。y=\dfrac{\log x}{x} \ \ が表す曲線C\ と \ y=kx \ \ が表す直線 \ \ell \ が \ y > 0 \ の範囲でただ一つの共有点を$
$\quad もつとき、曲線C、直線 \ \ell \ \ と \ x\ 軸で囲まれる図形の面積を求めよ。$


(1)


$f(x)=\dfrac{\log x}{x^2}\ \ より$

$f'(x)=\dfrac{\dfrac{1}{x} \times x^2-(\log x) \times 2x}{x^4}=\dfrac{x-2x\log x}{x^4}=\dfrac{1-2\log x}{x^3}$

$f'(x)=0\ \ より \quad \log x=\dfrac{1}{2} \qquad x=e^{\scriptsize{\dfrac{1}{2}}}=\sqrt{e}$

　

$増減表$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} x& 0 & \cdots & \sqrt{e} & \cdots \\ \hline f'(x)& & + & 0 & - & \\ \hline f(x) & & \nearrow & 極大 & \searrow \\ \end{array} \]
$x=\sqrt{e} \ \ のとき極大値となり、極大値は$

$f(\sqrt{e})=\dfrac{\scriptsize{\dfrac{1}{2}}}{e} =\dfrac{1}{2e} $

$x \longrightarrow \infty \ \ のとき \ \ f(x) \longrightarrow 0 \ \ だから \ x\ 軸は漸近線$

$x \longrightarrow +0 \ \ のとき \ \ f(x) \longrightarrow -\infty \ \ だから \ y\ 軸は漸近線$

$y=f(x)\ のグラフは右図のとおり$


(2)


\[I=\int \dfrac{\log x}{x} dx \quad において \quad \log x=t \quad とおくと \quad \dfrac{dx}{x}=dt\]
\[I=\int tdt=\dfrac{t^2}{2} +C =\dfrac{1}{2}(\log x)^2 +C \quad (\ C\ は積分定数 \ )\]

(3)


$g(x)=\dfrac{\log x}{x} \quad とおくと$

$g'(x)=\dfrac{\dfrac{1}{x} \times x -(\log x) \times 1}{x^2}=\dfrac{1-\log x}{x^2}$

$g'(x)=0 \ \ より \quad \log x=1 \qquad x=e$

$増減表$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} x& 0 & \cdots & e & \cdots \\ \hline g'(x)& & + & 0 & - & \\ \hline g(x) & & \nearrow & 極大 & \searrow \\ \end{array} \]
$x=e \ \ のとき極大値となり、極大値は \quad g(e)=\dfrac{\log e}{e} =\dfrac{1}{e} $

$x \longrightarrow \infty \ \ のとき \ \ g(x) \longrightarrow 0 \ \ だから \ x\ 軸は漸近線$

$x \longrightarrow +0 \ \ のとき \ \ g(x) \longrightarrow -\infty \ \ だから \ y\ 軸は漸近線$

$y=g(x) \ \ のグラフは右図のとおり$

$曲線C\ と直線 \ \ell \ が \ y > 0 \ の範囲でもつただ一つの共有点を \ A(t,\ \dfrac{\log t}{t})\ \ とおくと$

$g(t)=kt,\quad g'(t)=k \quad だから$

　

\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{\log t}{t}=kt \hspace{6.5em}①\\ \dfrac{1-\log t}{t^2}=k \hspace{5em}②\\ \end{array} \right. \]
$②より \quad \dfrac{1-\log t}{t}=kt$

$①に代入して \quad \dfrac{1-\log t}{t}=\dfrac{\log t}{t}$

$1-\log t=\log t$

$\log t=\dfrac{1}{2} \qquad t=e^{\scriptsize{\dfrac{1}{2}}}=\sqrt{e}$

$②に代入して \quad k=\dfrac{1-\dfrac{1}{2}}{e}=\dfrac{1}{2e}$

$このとき \quad kt=\dfrac{1}{2e} \times \sqrt{e}=\dfrac{1}{2\sqrt{e}} \qquad \therefore \ \ A(\sqrt{e},\ \dfrac{1}{2\sqrt{e}}) $

$曲線C\ と \ x\ 軸との交点は \quad \log x=0 \ \ より \quad x=1$

$曲線C、直線 \ \ell \ \ と \ x\ 軸で囲まれる図形の面積 \ S\ は$

\begin{eqnarray*} S &=&\triangle OAB -S_1\\ \\ &=&\dfrac{1}{2} \times \sqrt{e} \times \dfrac{1}{2\sqrt{e}} - \int_1^{\sqrt{e}} \dfrac{\log x}{x}dx\\ \\ &=&\dfrac{1}{4}-\big[\dfrac{1}{2}(\log x)^2\big]_1^{\sqrt{e}} \\ \\ &=&\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{4} \\ \\ &=&\dfrac{1}{8} \end{eqnarray*}

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