群馬大学(理系) 2025年 問題4
$座標空間内の \ 3\ 点 \ A,\ B,\ C\ の位置ベクトル \ \ \vec{a}=\vec{OA},\ \ \vec{b}=\vec{OB},\ \ \vec{c}=\vec{OC}\ \ は互いに垂直で、|\vec{a}|=|\vec{b}|=1,$
$|\vec{c}|=t \ \ (t > 0)\ \ とする。3\ 点 \ A,\ B,\ C\ を通る平面を \ \alpha \ とするとき、以下の問に答えよ。$
$(1)\ \ 原点 \ O\ から平面 \ t \ に垂線 \ OH\ を下ろす。ベクトル \ \vec{OH}\ を \ \ \vec{a},\ \ \vec{b},\ \ \vec{c}\ \ および \ t\ を用いて表せ。$
$(2)\ \ 線分 \ AB\ の中点を \ M\ とする。点 \ H\ が線分 \ CM\ を内分するする点であることを示し、CH:HM \ \ を$
$\quad t\ を用いて表せ。$
(1)
$|\vec{a}|=|\vec{b}|=1,\quad |\vec{c}|=t \ \ (t > 0)$
$点H\ は平面 \ \alpha \ \ 上の点だから$
$\vec{AH}=p\vec{AB}+q\vec{AC}\ \ を満たす実数 \ p,\ q \ \ が存在する。$
\begin{eqnarray*} \vec{OH} &=&\vec{OA}+\vec{AH}\\ \\ &=&\vec{OA}+p\vec{AB}+q\vec{AC}\\ \\ &=&\vec{a}+p(\vec{b}-\vec{a})+q(\vec{c}-\vec{a})\\ \\ &=&(1-p-q)\vec{a}+p\vec{b} +q\vec{c}\\ \end{eqnarray*}
$OH \perp \alpha \quad より$
(i)$\ \ OH \perp AB$
$\quad \vec{OH} \cdot \vec{AB}=0$
$\quad \big\{(1-p-q)\vec{a}+p\vec{b} +q\vec{c}\big\} \cdot (\vec{b}-\vec{a})=0$
$\quad (1-p-q)\vec{a} \cdot \vec{b} -(1-p-q)\vec{a} \cdot \vec{a} +p\vec{b}\cdot \vec{b} -p\vec{b} \cdot \vec{a}+q\vec{c}\cdot \vec{b} -q\vec{c} \cdot \vec{a}=0$
$\quad -(1-p-q) +p =0$
$\quad 2p+q=1 \hspace{5em} ①$
(ii)$\ \ OH \perp AC$
$\quad \vec{OH} \cdot \vec{AC}=0$
$\quad \big\{(1-p-q)\vec{a}+p\vec{b} +q\vec{c}\big\} \cdot (\vec{c}-\vec{a})=0$
$\quad (1-p-q)\vec{a} \cdot \vec{c} -(1-p-q)\vec{a} \cdot \vec{a} +p\vec{b}\cdot \vec{c} -p\vec{b} \cdot \vec{a}+q\vec{c}\cdot \vec{c} -q\vec{c} \cdot \vec{a}=0$
$\quad -(1-p-q) +qt^2 =0$
$\quad p+(t^2+1)q=1 \hspace{5em} ②$
$①-2 \times ② \quad より \quad (1-2(t^2+1))q=-1$
$q=\dfrac{1}{2t^2+1}$
$①に代入して \quad p=\dfrac{1}{2}(1-\dfrac{1}{2t^2+1})=\dfrac{t^2}{2t^2+1}$
\begin{eqnarray*} \vec{OH} &=&(1-p-q)\vec{a}+p\vec{b} +q\vec{c}\\ \\ &=&(1-\dfrac{t^2}{2t^2+1}-\dfrac{1}{2t^2+1})\vec{a}+ \dfrac{t^2}{2t^2+1}\vec{b} +\dfrac{1}{2t^2+1}\vec{c}\\ \\ &=&\dfrac{t^2}{2t^2+1}\vec{a}+ \dfrac{t^2}{2t^2+1}\vec{b} +\dfrac{1}{2t^2+1}\vec{c}\\ \end{eqnarray*}
(2)
$CH:HM=k : (1-k) \quad とおくと$
\begin{eqnarray*} \vec{OH} &=&k\vec{OM}+(1-k)\vec{c}\\ \\ &=&\dfrac{k}{2}(\vec{a}+\vec{b})+(1-k)\vec{c}\\ \\ &=&\dfrac{k}{2}\vec{a}+\dfrac{k}{2}\vec{b}+(1-k)\vec{c}\\ \end{eqnarray*} $また(1)より \quad \vec{OH}=\dfrac{t^2}{2t^2+1}\vec{a}+ \dfrac{t^2}{2t^2+1}\vec{b} +\dfrac{1}{2t^2+1}\vec{c} \quad だから$
$\vec{a},\ \ \vec{b},\ \ \vec{c}\ \ は互いに垂直だから、互いに平行でなく、同一平面上にもないので \ \ (これを一次独立といいます)$
\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{t^2}{2t^2+1}=\dfrac{k}{2} \hspace{6.5em}①\\ \dfrac{1}{2t^2+1}=1-k \hspace{5em}②\\ \end{array} \right. \]
$②より \quad k=1-\dfrac{1}{2t^2+1}=\dfrac{2t^2}{2t^2+1}$
$\dfrac{k}{2}=\dfrac{t^2}{2t^2+1} \quad となって ①に一致するから①と②は同値である。$
$k =\dfrac{t^2}{2t^2+1} > 0,\qquad k=1-\dfrac{1}{2t^2+1} < 1$
$よって \quad 0 < k < 1 \quad だから点H\ は線分CM\ の内分点である。$
\begin{eqnarray*} & &CH:HM\\ \\ &=&k : (1-k)\\ \\ &=&\dfrac{2t^2}{2t^2+1} : (1-\dfrac{2t^2}{2t^2+1})\\ \\ &=&\dfrac{2t^2}{2t^2+1} : \dfrac{1}{2t^2+1}\\ \\ &=&2t^2 : 1 \end{eqnarray*}
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