群馬大学(理系) 2025年 問題3
$数列 \ \{a_n\} \ は次の条件によって定められている。$
$\quad a_1=\dfrac{1}{\sqrt{2}},\quad a_{n+1}=\sqrt{\dfrac{a_n+1}{2}} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$以下の問に答えよ。$
$(1)\ \ すべての \ n\ につて、0 < a_n < 1\ \ となることを示せ。$
$(2)\ \ すべての \ n\ につて、a_n < a_{n+1}\ \ となることを示せ。$
$(3)\ \ a_n=\cos \theta _n \ \ となる \ \theta_n \ \ \big(0 < \theta _n < \dfrac{\pi}{2}\big)\ \ を求めよ。$
(1)
$数学的帰納法で示す。$
(i)$\ \ \sqrt{2} > 1 \quad より \quad 0 < \dfrac{1}{\sqrt{2}} <1$
$\quad \therefore \ \ 0 < a_1 < 1$
$\quad よって \ \ n=1\ \ のとき成りたつ$
(ii)$\ \ n=k \ \ (k=2,\ 3,\ \cdots )\ \ のとき成りたつとすると \quad 0 < a_k < 1$
$\quad このとき \quad 1 < a_k +1 < 2 \quad だから \quad \dfrac{1}{2} < \dfrac{a_k +1}{2} < 1$
$\quad 両辺の平方根をとって \quad \dfrac{1}{\sqrt{2}} < \sqrt{\dfrac{a_k +1}{2}} < 1$
$\quad \therefore \ \ \dfrac{1}{\sqrt{2}} < a_{k+1} < 1$
$\quad よって \ \ n=k+1 \ \ のとき成りたつ$
(i),(ii)$\ \ よりすべての自然数 \ n\ について \quad 0 < a_n < 1 \ \ が成りたつ$
(2)
\begin{eqnarray*} & &a_{n+1}-a_n\\ \\ &=&\sqrt{\dfrac{a_n+1}{2}} - a_n\\ \\ &=&\dfrac{\dfrac{a_n+1}{2} - a_n ^2}{\sqrt{\dfrac{a_n+1}{2}} + a_n}\\ \\ &=&\dfrac{a_n+1 - 2a_n ^2}{2\big(\sqrt{\dfrac{a_n+1}{2}} + a_n\big)}\\ \\ &=&\dfrac{(1-a_n)(1+2a_n)}{2\big(\sqrt{\dfrac{a_n+1}{2}} + a_n\big)} \hspace{5em} (\ \ (1)\ より \ \ 0 < a_n < 1\ \ )\\ \\ &>&0 \end{eqnarray*}
$よって \ \ すべての \ n\ につて \quad a_n < a_{n+1}$
(3)
\begin{eqnarray*} a_{n+1} &=&\sqrt{\dfrac{a_n+1}{2}} \\ \\ &=&\sqrt{\dfrac{\cos \theta _n +1}{2}} \\ \\ &=&\sqrt{\dfrac{(2\cos ^2 \dfrac{\theta _n}{2}-1) +1}{2}} \\ \\ &=&\sqrt{\cos ^2 \frac{\theta _n}{2}} \\ \\ &=&\cos \frac{\theta _n}{2} \\ \end{eqnarray*}
$一方 \quad a_{n+1}=\cos \theta_{n+1} \quad だから \quad \cos \theta_{n+1}=\cos \dfrac{\theta _n}{2}$
$0 < \theta _n < \dfrac{\pi}{2} \quad だから \quad \theta_{n+1}=\dfrac{\theta _n}{2}$
$a_1=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\ \ より \quad \cos \theta_1=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \quad \therefore \ \ \theta_1=\dfrac{\pi}{4}$
$よって \quad \theta_n=\dfrac{\pi}{4}\big(\dfrac{1}{2}\big)^{n-1}=\pi\big(\dfrac{1}{2}\big)^{n+1}$
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