群馬大学(理系) 2025年　問題2


$a\ を正の定数とする。以下の問に答えよ。$
$(1)\ \ 不等式\ \ |-5x+3| \leqq 2a \ \ を満たす実数 \ x\ の範囲を求めよ。$
$(2)\ \ (1)において \ a=4\ のとき、すなわち、不等式 \ \ |-5x+3| \leqq 8 \ \ を満たす整数 \ x\ の個数を求めよ。$
$(3)\ \ 不等式 \ \ |-5x+3| \leqq 2a \ \ を満たす整数 \ x\ がちょうど \ 6\ 数存在するような \ a\ の値の範囲を求めよ。$


(1)


$a\ は \ x\ に無関係な正の定数だから \quad |-5x+3| \leqq 2a \ \ すなわち \quad |5x-3| \leqq 2a \ \ の解は$

$-2a \leqq 5x-3 \leqq 2a$

$-2a+3 \leqq 5x \leqq 2a+3$

$\dfrac{-2a+3}{5} \leqq x \leqq \dfrac{2a+3}{5}$


(2)


$(1)の解に \ \ a=4\ \ を代入して$

$\dfrac{-2 \times 4+3}{5} \leqq x \leqq \dfrac{2 \times 4+3}{5}$

$-1 \leqq x \leqq \dfrac{11}{5}$

$これを満たす整数 \ x\ は \quad \{-1,\ 0,\ 1,\ 2\}\ \ の \ 4\ 個$


(3)


$\dfrac{-2a+3}{5} \leqq x \leqq \dfrac{2a+3}{5}\quad を満たす \ 6\ 個の整数解を \quad b,\ b+1,\ \cdots , \ b+5 \quad とすると$
$\hspace{3em}$ 　

\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} b-1 < \dfrac{-2a+3}{5} \leqq b \hspace{6em}①\\ b+5 \leqq \dfrac{2a+3}{5} < b+6 \hspace{5em}②\\ \end{array} \right. \]

　

$①より$

$2a+5b<8 \hspace{5em}③$

$2a+5b \geqq 3 \hspace{5em}④$

$②より$

$2a-5b \geqq 22 \hspace{5em}⑤$

$2a-5b < 27 \hspace{5em}⑥$

$この領域を図示したものが右図で,$

$このひし形部分を拡大したものが次の図である。$

　

$③と⑤の交点は　A(\dfrac{15}{2},-\dfrac{7}{5})$

$③と⑥の交点は　B(\dfrac{35}{4},-\dfrac{19}{10})$

$④と⑤の交点は　C(\dfrac{25}{4},-\dfrac{19}{10})$

$④と⑥の交点は　D(\dfrac{15}{2},-\dfrac{12}{5})$

$このひし形の内部での整数 \ b\ は、b=-2\ \ のみであるから$

$線分CD\ と \ b=-2\ \ の交点 \ E\ は \quad 2a+5 \times (-2)=3\ \ より \quad a=\dfrac{13}{2}$

$線分BD\ と \ b=-2\ \ の交点 \ F\ は \quad 2a -5 \times (-2)=27 \ \ より \quad a=\dfrac{17}{2}$

$よって \ \ |-5x+3| \leqq 2a \ \ を満たす整数 \ x\ がちょうど \ 6\ 数存在するような \ a\ の値の範囲は$

$\dfrac{13}{2} \leqq a < \dfrac{17}{2}$


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