群馬大学(理系) 2022年 問題6
$複素数平面上で、点 \ z\ が原点 \ O\ を中心とする半径 \ 1\ の円上を動くとき、w=2-iz\ で表される点 \ w\ の$
$描く図形を \ C\ とする。$
$また、a=\cfrac{1+\sqrt{3}i}{2},\quad b=\cfrac{1+i}{\sqrt{2}}\ \ とする。ただし、i\ は虚数単位である。$
$(1)\ \ a=\cos \alpha +i\sin \alpha , \quad b=\cos \beta +i\sin \beta \ \ を満たす実数 \ \alpha \ と \ \beta \ \ を求めよ。$
$\quad ただし、0 \leqq \alpha < 2\pi ,\quad 0 \leqq \beta < 2\pi \quad とする。$
$(2)\ \ C\ を複素数平面上に図示せよ。$
$(3)\ \ a^n=2-ib^n \ \ を満たす自然数\ n\ のうち、最小のものを求めよ。$
$(解説)$
$(1)\ \ a,\ b\ を極形式で表します。$
$(2)\ \ w=2-iz \ \ を \ z\ について解き、|z|=1\ \ に代入します。$
$(3)\ \ (2)をつかって \ w=1\ を導きます。なお、(2)を使わずに求める方法もあります。$
(1)
$\quad a=\cfrac{1+\sqrt{3}i}{2}=\cos \cfrac{\pi}{3}+i\sin \cfrac{\pi}{3} \quad だから \quad \alpha =\cfrac{\pi}{3}$
$\quad b=\cfrac{1+i}{\sqrt{2}}=\cos \cfrac{\pi}{4}+i\sin \cfrac{\pi}{4} \quad だから \quad \beta =\cfrac{\pi}{4}$
(2)
$\quad z\ は原点 \ O\ を中心とする半径 \ 1\ の円上を動くから \quad |z|=1$
$\quad w=2-iz \quad より \quad z=\cfrac{2-w}{i} \quad を代入して$
$\quad \big|\cfrac{2-w}{i}\big|=1 \qquad |w-2|=1$
$\quad w\ は \ 2\ を中心する半径 \ 1\ の円を描く。グラフは右図のとおり。$
(3)
$\quad |b|= 1 \quad だから \quad |b^n|=|b|^n=1 \quad そこで \quad b^n=z \quad とおくと \quad |z|=1$
$\quad a^n=2-ib^n=2-iz \quad だから \quad a^n=w \quad とおくと \quad |w|=|a^n|=|a|^n=1$
$\quad また、w=2-iz \quad となるから(2)より \quad |w-2|=1 $
$\quad よって \quad w \ \ は右図のように \ 2\ つの円の交点だから、w=1\ \ である。$
$\quad a^n=1 \quad より \quad (\cos \cfrac{\pi}{3}+i\sin \cfrac{\pi}{3})^n=1$
$\quad \cos \cfrac{n\pi}{3}+i\sin \cfrac{n\pi}{3}=1$
$\quad \cos \cfrac{n\pi}{3}=1,\quad \sin \cfrac{n\pi}{3}=0$
$したがって \quad \cfrac{n\pi}{3}=2k\pi \ \ (k\ は整数)$
$n=6k \quad だから \quad 最小の自然数は \quad n=6$
$このとき \quad b^6=(\cos \cfrac{\pi}{4}+i\sin \cfrac{\pi}{4})^6=\cos \cfrac{6\pi}{4}+i\sin \cfrac{6\pi}{4}=-i \quad だから$
$\quad 2-ib^6=2-i \times (-i)=1=a^6 \quad となって一致する。$
$(別解1)$
$a^n=2-ib^n \quad より \quad (\cos \cfrac{\pi}{3}+i\sin \cfrac{\pi}{3})^n=2-i(\cos \cfrac{\pi}{4}+i\sin \cfrac{\pi}{4})^n$
$\cos \cfrac{n\pi}{3}+i\sin \cfrac{n\pi}{3}=2-i(\cos \cfrac{n\pi}{4}+i\sin \cfrac{n\pi}{4})$
$\quad \cos \cfrac{n\pi}{3}=2+\sin \cfrac{n\pi}{4} \hspace{5em}①$
$\quad \sin \cfrac{n\pi}{3}=-\cos \cfrac{n\pi}{4} \ \hspace{5em}②$
$①より \quad -1 \leqq \cos \cfrac{n\pi}{3} \leqq 1 \quad だから \quad -1 \leqq 2+\sin \cfrac{n\pi}{4} \leqq 1$
$よって \quad -3 \leqq \sin \cfrac{n\pi}{4} \leqq -1 \quad となるから これが成りたつのは \quad \sin \cfrac{n\pi}{4} =-1 \quad のときだけである。$
$\quad \cfrac{n\pi}{4}=2k\pi-\cfrac{\pi}{2} \qquad n=8k-2 $
$これを満たす最小の自然数は \quad k=1 \ \ のときで \quad n=6$
$(別解2)$
$別解(1)で \quad ①^2+②^2 \quad をとると$
$\quad \cos ^2 \cfrac{n\pi}{3} + \sin ^2 \cfrac{n\pi}{3}=(2+\sin \cfrac{n\pi}{4})^2+ \cos ^2 \cfrac{n\pi}{4} $
$\quad 1=4 +4 \sin \cfrac{n\pi}{4} +1$
$\quad \sin \cfrac{n\pi}{4}=-1$
$以下別解(1)に同じ$
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