群馬大学(理系) 2022年　問題5


$2\ 次関数 \ \ y=f(x)\ \ のグラフは、x\ 軸と \ 2\ 点 \ (-3,\ 0),\ (1,\ 0)\ で交わり、頂点の \ y\ 座標は \ 4\ である。$
$2\ 次関数 \ \ y=g(x)\ \ のグラフは \ \ y=f(x)\ \ のグラフを \ x\ 軸方向に \ 2\ だけ平行移動したものである。$
$r\ を \ \ 0 < r < \cfrac{1}{2}\ \ を満たす定数とするとき、$
\[\quad R(t)=(1-r)\int _{-1}^t g(x)dx + r\int_t^1 f(x)dx \ \ (-1 < t <1) \quad とおく。\] $(1)\ \ f(x)\ と \ g(x)\ を求めよ。$
$(2)\ \ t\ の関数 \ R(t)\ の導関数 \ R'(t)\ を求めよ。$
$(3)\ \ s=\cfrac{1}{1-2r}\ \ とおく。R(t)\ が極値をとるときの \ t\ を \ s\ を用いて表せ。$


$(解説)$

$(1)\ \ x\ 軸と \ 2\ 点で交わる2次関数は\ \ f(x)=a(x-p)(x-q)\ \ とおけます。$
$\quad また、f(x)\ を \ x\ 軸方向に \ u\ 平行移動したものは \ \ f(x-u) とおけます。$
\[(2)\ \ 微分積分学の基本定理 \ \ \cfrac{d}{dt}\int _a^t f(x)dx=f(t) \ \ をつかいます。\] $(3)\ \ 極値をとるときの \ t\ は \ \ R'(t)=0\ の解のうち小さい方ですが、それを示すのがポイントです。$


(1)


$y=f(x)\ は、x\ 軸と \ 2\ 点 \ (-3,\ 0),\ (1,\ 0)\ で交わるから\ \ f(x)=a(x+3)(x-1)\ \ とおける。$

$\quad f(x)=a(x^2+2x-3)=a(x+1)^2-4a \quad と平方完成すると頂点は \ \ (-1,\ -4a)$

$頂点の \ y\ 座標が \ 4\ であるから \quad -4a=4 \qquad \therefore \ \ a=-1$

$よって \quad f(x)=-(x^2+2x-3)=-x^2-2x+3$

$y=g(x)\ \ は \ \ y=f(x)\ \ を \ x\ 軸方向に \ 2\ だけ平行移動したものであるから$

$\quad g(x)=f(x-2)=-(x-2)^2-2(x-2)+3=-x^2+2x+3$


(2)


\[R(t)=(1-r)\int _{-1}^t g(x)dx + r\int_t^1 f(x)dx =(1-r)\int _{-1}^t g(x)dx - r\int _1^t f(x)dx\]
$R'(t)=(1-r) g(t) - r f(t)=(1-r)(-t^2+2t+3)-r(-t^2-2t+3)=(2r-1)t^2+2t+3-6r$


(3)


$R'(t)=0 \quad の判別式は \quad \cfrac{D}{4}=1-(2r-1)(3-6r)=12r^2-12r+4=12(r-\cfrac{1}{2})^2+1 >0 $

$よって \quad R'(t)=0\ \ は異なる \ 2\ つの実数解 \ \alpha,\ \beta \ \ をもつ。$

　
$-1 < t < 1 , \quad 0 < r < \cfrac{1}{2} \quad だから$

$\quad R'(1)=(2r-1)+2+(3-6r)=4(1-r) > 0$

$\quad R'(-1)=(2r-1)-2+(3-6r)=-4r < 0$

$\quad R'(0)=3-6r=3(1-2r) > 0$

$R'(t)\ のグラフは右図のとおりで、中間値の定理より \quad -1 < \alpha <0,\quad \beta >1 $

$t=\alpha \ \ の前後で \ R'(t)\ の符号は負から正に変わるので、R(t)\ \ は \ \ t=\alpha \ \ で極小値をとる。$

$R'(t)=0 \quad より \quad (2r-1)t^2+2t+3-6r=0 \qquad (1-2r)t^2-2t-3(1-2r)=0 $

$\quad 1-2r=\cfrac{1}{s} > 0 \quad を代入して \quad \cfrac{t^2}{s}-2t-\cfrac{3}{s}=0$

$分母をはらって \quad t^2-2st-3=0 \quad これを解いて \quad t=s \pm \sqrt{s^2+3}$

$-1 < t < 0 \quad の解をとって \quad t=s -\sqrt{s^2+3}$


$(補充)$

$-1 < s-\sqrt{s^2+3} < 0 \quad となること$

(i)$\ \ s-\sqrt{s^2+3}=\cfrac{s^2-(s^2+3)}{s+\sqrt{s^2+3}}=\cfrac{-3}{s+\sqrt{s^2+3}} < 0$

(ii)$\ \ (s+1)^2-(s^2+3)=2s-2=2(s-1)$

　
$ここで$

$s=\cfrac{1}{1-2r}=-\cfrac{1}{2(r-\dfrac{1}{2})} \ \ (0 < r < \cfrac{1}{2}) \quad だから \quad 右図からわかるように \quad s >1$

$よって \quad (s+1)^2-(s^2+3) > 0 \qquad s+1 > \sqrt{s^2+3}$

$\therefore \ \ s -\sqrt{s^2+3} > -1$



ページの先頭へ↑




メインメニュー　に戻る