群馬大学(理系) 2022年 問題2
$座標平面上で、不等式 \ \ \cfrac{2^{x+1}}{3^{y-1}} + \cfrac{3^{y-1}}{2^x} \leqq 3 \ \ を満たす点(x,\ y)\ 全体の集合を \ D\ とする。$
$(1)\ \ 点(\log _2 3,\ \log _3 9) \ は \ D\ に属することを示せ。$
$(2)\ \ 不等式 \ \ t-3+\cfrac{2}{t} \leqq 0 \ \ を満たす正の実数 \ t\ の範囲を求めよ。$
$(3)\ \ D\ を図示せよ。$
$(解説)$
$(1)\ \ 点(\log _2 3,\ \log _3 9) \ が不等式をみたすことを示します。$
$(2)\ \ t > 0 \ だから分母を払って、2\ 次不等式を解きます。$
$(3)\ \ 不等式の第 \ 2\ 項を \ t\ とおくと(2)の不等式になります。$
(1)
$a=\log _2 3,\quad b=\log _3 9=\log _3 3^2=2 \quad とおくと$
$\quad \cfrac{2^{a+1}}{3^{b-1}} + \cfrac{3^{b-1}}{2^a}=\cfrac{2^{\log _2 3+1}}{3^{2-1}} + \cfrac{3^{2-1}}{2^{\log _2 3}}= \cfrac{3 \times 2}{3} + \cfrac{3}{3}=3$
$よって、点(\log _2 3,\ \log _3 9) \ は \ D\ に属する。$
(2)
$t-3+\cfrac{2}{t} \leqq 0 \quad (t > 0) \quad の両辺に \ t\ をかけて$
$t^2-3t+2 \leqq 0 \qquad (t-1)(t-2) \leqq 0$
$\quad \therefore \ \ 1 \leqq t \leqq 2$
(3)
$\cfrac{2^{x+1}}{3^{y-1}} + \cfrac{3^{y-1}}{2^x} \leqq 3 \quad より \quad \cfrac{2 \cdot 2^x}{3^{y-1}} + \cfrac{3^{y-1}}{2^x}-3 \leqq 0$
$t=\cfrac{3^{y-1}}{2^x} \quad とおくと \quad \cfrac{2}{t}+t-3 \leqq 0$
$この解は(2)より \quad 1 \leqq t \leqq 2 \quad だから \quad 1 \leqq \cfrac{3^{y-1}}{2^x} \leqq 2 $
$\therefore \ \ 2^x \leqq 3^{y-1} \leqq 2\cdot 2^x $
(i)$\ \ 2^x \leqq 3^{y-1} \quad より$
$ \quad y-1 \geqq \log _3 2^x$
$ \quad y \geqq 1+ x\log _3 2$
(ii)$\ \ 3^{y-1} \leqq 2^{x+1} \quad より$
$ \quad y-1 \leqq \log _3 2^{x+1}$
$ \quad y \leqq 1+ (x+1)\log _3 2$
$ \quad y \leqq 1+\log _3 2 +x\log _3 2$
(i),(ii)$\ \ より、領域 \ D\ は右図のとおりで、境界を含む。$
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