群馬大学(医系) 2025年　問題4


$0\ でない複素数 \ \alpha \ と複素数平面上で \ \alpha \ を表す点A(\alpha)\ について、次の問に答えよ。$
$(1)\ \ 複素数平面上の \ 3\ 点A(\alpha),\ \ B(\alpha ^2),\ \ C(-\alpha)\ \ を頂点とする \ \triangle ABC \ \ が正三角形になるような \ \alpha \ を求めよ。$
$(2)\ \ 複素数平面上の \ 3\ 点A(\alpha),\ \ B(\alpha ^2),\ \ C(-\alpha) \ \ が一直線上にあるならば \ \alpha \ は実数であることを示せ。$
$(3)\ \ 複素数平面上の \ 3\ 点A(\alpha),\ \ B(i\alpha ^2),\ \ C(\dfrac{-1}{\alpha}) \ が一直線上にあるような \ A(\alpha)\ の範囲を複素数平面上に$
$\quad 図示せよ。ただし、i\ は虚数単位とする。$


(1)

　

$\triangle ABC \ \ が正三角形ならば \ \vec{AC}\ を点A\ を中心に \ \pm \dfrac{\pi}{3}\ 回転すると$

$\vec{AB}\ \ になるから$

$\alpha ^2 -\alpha =(-\alpha - \alpha)(\cos \dfrac{\pi}{3} \pm i\sin \dfrac{\pi}{3})$

$\alpha (\alpha - 1)=-2\alpha \times \dfrac{1 \pm \sqrt{3}i}{2}$

$\alpha \ne 0 \quad だから$

　

$\alpha - 1 =-2 \times \dfrac{1 \pm \sqrt{3}i}{2}$

$\alpha =\pm \sqrt{3}i$

$このとき$

$A(\sqrt{3}i),\ \ B(-3),\ \ C(-\sqrt{3}i),\ \ または \ \ A(-\sqrt{3}i),\ \ B(-3),\ \ C(\sqrt{3}i)$


(2)

　

$3\ 点A(\alpha),\ \ B(\alpha ^2),\ \ C(-\alpha) \ \ が一直線上にあるならば$

$\vec{AB}=k\vec{AC} \ \ を満たす実数 \ k\ が存在する。$

$\alpha ^2-\alpha =k(-\alpha - \alpha)$

$\alpha (\alpha -1) =-2k\alpha $

$\alpha \ne 0 \quad だから \quad \alpha -1 =-2k$

$\alpha =1-2k$

$よって \ \alpha \ は実数である。$


(3)


$3\ 点A(\alpha),\ \ B(i\alpha ^2),\ \ C(\dfrac{-1}{\alpha}) \ が一直線上にあるならば$

$\vec{AB}=k\vec{AC} \ \ を満たす実数 \ k\ が存在する。$

$i\alpha ^2-\alpha =k(-\dfrac{1}{\alpha} - \alpha)$

$\alpha (1-i\alpha )=k \times \dfrac{1+\alpha ^2}{\alpha}$

$\dfrac{\alpha ^2 (1-i\alpha )}{1+\alpha ^2}=k$

$k\ は実数だから \quad \dfrac{\alpha ^2 (1-i\alpha )}{1+\alpha ^2} \ \ は実数$

$\dfrac{\alpha ^2 (1-i\alpha )}{1+\alpha ^2}=\dfrac{\overline{\alpha} ^2 (1+i\overline{\alpha} )}{1+\overline{\alpha ^2}}$

$\alpha ^2 (1-i\alpha )(1+\overline{\alpha }^2)=\overline{\alpha} ^2 (1+i\overline{\alpha} )(1+\alpha ^2)$

$\alpha ^2 (1+\overline{\alpha }^2 -i\alpha -i\alpha \overline{\alpha} ^2)=\overline{\alpha}^2 (1+\alpha ^2 +i\overline{\alpha} +i\alpha ^2\overline{\alpha})$

$\alpha ^2 - \overline{\alpha }^2 -i(\alpha ^3 + \overline{\alpha} ^3) -i\alpha ^2 \overline{\alpha}^2 (\alpha +\overline{\alpha})=0$

$(\alpha + \overline{\alpha })\big\{ \alpha - \overline{\alpha} -i(\alpha ^2 -\alpha \overline{\alpha} + \overline{\alpha} ^2) -i\alpha ^2 \overline{\alpha}^2 \big\}=0$

$-i(\alpha + \overline{\alpha })\big(\alpha ^2 \overline{\alpha}^2+ \alpha ^2 + \overline{\alpha}^2- \alpha \overline{\alpha} +i(\alpha - \overline{\alpha})\big)=0$

$(\alpha + \overline{\alpha })\big\{(\alpha ^2 +1)(\overline{\alpha}^2+1)-(\alpha +i)(\overline{\alpha}-i)\big\}=0$

$(\alpha + \overline{\alpha })\big\{(\alpha ^2 -i^2)(\overline{\alpha}^2 -i^2)-(\alpha +i)(\overline{\alpha}-i)\big\}=0$

$(\alpha + \overline{\alpha })\big\{(\alpha +i)(\alpha -i)(\overline{\alpha} +i)(\overline{\alpha}-i)-(\alpha +i)(\overline{\alpha}-i)\big\}=0$

$(\alpha + \overline{\alpha })(\alpha +i)(\overline{\alpha} -i)\big\{(\alpha -i)(\overline{\alpha}+i)-1 \big\}=0$

$(\alpha + \overline{\alpha })(\alpha +i)(\overline{\alpha+i})\big\{(\alpha -i)(\overline{\alpha -i})-1 \big\}=0$

$(\alpha + \overline{\alpha })|\alpha +i|^2\big(|\alpha -i|^2-1 \big)=0$

　

(i)$\ \ \alpha + \overline{\alpha }=0 \ \ より \quad \Re{\alpha}=0 \ \ (\alpha \ の実部=0 \ \ だから \ \ 虚軸全体)$

(ii)$\ \ |\alpha +i|^2=0 \ \ より \quad \alpha =-i \quad これは$(i)$に含まれる$

(iii)$\ \ |\alpha -i|^2-1=0 \ \ より \quad |\alpha -i|^2=1 \ \ (中心 \ \ A(i) ,\ \ 半径 \ 1\ の円)$

$ただし、\alpha \ne 0 \quad だから原点を除く$

$求める点 A(\alpha)\ の範囲は右図のとおり$


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