群馬大学(医系) 2025年 問題2
$自然数 \ n\ に対して、a(n)=n^2+2,\ \ b(n)=n^3+45n^2+2n+765\ \ とおき、a(n)\ と \ b(n)\ の最大公約数を \ d(n)$
$とおく。以下の問に答えよ。$
$(1)\ \ a(n)\ が \ 5\ の倍数ないことを示せ。$
$(2)\ \ n\ が自然数全体を動くときの \ d(n)\ の最大値 \ d_0 \ を求めよ。また、d(n)=d_0 \ \ となる自然数 \ n\ のなかで$
$\quad 最小のものを求めよ。$
$(3)\ \ \dfrac{1}{2}\log_{\scriptsize{\dfrac{1}{\sqrt{3}}}} a(n) +2\log_9 b(n) +(m-1)\log_{\scriptsize{\dfrac{1}{3}}} 5 \quad が自然数となる自然数の組 \ (m,\ n) \ がただ1つ存在すること$
$\quad を示せ。$
(1)
$a(n)=n^2+2 \ の自然数 \ n\ を \ 5\ で割った余りで類別する。k\ を自然数として$
(i)$\ \ n=5k \ \ のとき$
$\quad a(n)=(5k)^2+2=5(5k^2)+2 \ \ だから \ a(n)\ を \ 5\ で割ると \ 2\ 余るので \ 5\ の倍数でない。$
(ii)$\ \ n= 5k \pm 1 \ \ のとき$
$\quad a(n)=(5k \pm 1)^2+2=5(5k^2 \pm 2k )+3 \ \ だから \ a(n)\ を \ 5\ で割ると \ 3\ 余るので \ 5\ の倍数でない。$
(iii)$\ \ n= 5k \pm 2 \ \ のとき$
$\quad a(n)=(5k \pm 2)^2+2=5(5k^2 \pm 4k +1 )+1 \ \ だから \ a(n)\ を \ 5\ で割ると \ 1\ 余るので \ 5\ の倍数でない。$
$よって,すべての自然数 \ n\ に対して \ \ a(n)\ は \ 5\ の倍数ない。$
(2)
$n^3+45n^2+2n+765\ \ を \ \ n^2+2 \ \ で割ると商 \ \ n+45 \ \ 余り \ \ 675 \ \ だから$
$b(n)=a(n)(n+45)+675$
$a(n)\ と \ b(n)\ の最大公約数\ d(n)\ を \ (a(n),\ b(n)) \ \ とあらわすと、ユークリッドの互除法より$
$d(n)=(a(n),\ b(n))=(a(n),\ 675)=(n^2+2,\ 5^2 \times 3^3) $
$(1)より a(n)=n^2+2 \ \ は \ 5\ の倍数でない。$
$そこで、a(n)=n^2+2 \ \ が \ 3\ の倍数になることがあるか調べる。$
(i)$\ \ n=3m \ \ のとき$
$\quad a(n)=(3m)^2+2=3(3m^2)+2 \ \ だから \ a(n)\ を \ 3\ で割ると \ 2\ 余るので \ 3\ の倍数でない。$
(ii)$\ \ n= 3m \pm 1 \ \ のとき$
$\quad a(n)=(3m \pm 1)^2+2=3(3m^2 \pm 2m +1) \ \ だから \ a(n)\ は \ 3\ の倍数である。$
$したがって \quad d_0=3^3=27$
$このとき、 最小の \ n\ は \ \ n^2+2=27 \ \ より \quad n=5$
(3)
\begin{eqnarray*} & &\dfrac{1}{2}\log_{\scriptsize{\dfrac{1}{\sqrt{3}}}} a(n) +2\log_9 b(n) +(m-1)\log_{\scriptsize{\dfrac{1}{3}}} 5 \\ \\ &=&\dfrac{1}{2}\times \dfrac{\log a(n)}{\log \dfrac{1}{\sqrt{3}}} +2 \times \dfrac{\log b(n)}{\log 9} + (m-1) \times \dfrac{\log 5}{\log \dfrac{1}{3}}\\ \\ &=&\dfrac{1}{2}\times \dfrac{\log a(n)}{-\dfrac{1}{2}\log 3} +2 \times \dfrac{\log b(n)}{2\log 3} + (m-1) \times \dfrac{\log 5}{-\log 3}\\ \\ &=&-\dfrac{\log a(n)}{\log 3} + \dfrac{\log b(n)}{\log 3} - (m-1) \times \dfrac{\log 5}{\log 3}\\ \\ &=&\dfrac{1}{\log 3} \big(\log b(n)-\log a(n) - (m-1) \log 5 \big)\\ \\ &=&\dfrac{1}{\log 3} \times \log \dfrac{b(n)}{5^{m-1}a(n)}\\ \end{eqnarray*}
$これが自然数だから$
$\log \dfrac{b(n)}{5^{m-1}a(n)}=p\log 3\ \ (p\ は自然数)\ \ とおける。$
$\dfrac{b(n)}{5^{m-1}a(n)}=3^p$
$\therefore \ \ b(n)=3^p 5^{m-1}a(n)$
$一方 \quad b(n)=a(n)(n+45)+675 \quad だから$
$3^p 5^{m-1}a(n)=a(n)(n+45)+5^2 \times 3^3$
$a(n)(3^p 5^{m-1}-n-45)=5^2 \times 3^3$
$a(n) \ \ は \ \ 5\ の倍数でないから \ 3\ の倍数である。$
(i)$\ \ a(n)=3 \ \ のとき$
$\quad n^2+2=3 \quad より \quad n=1$
$\quad 3^p5^{m-1}-1-45 =5^2 \times 3^2$
$\quad 3^p5^{m-1}=1+45 +5^2 \times 3^2=271$
$\quad 271 \ \ は \ 3\ で割り切れないから不適$
(ii)$\ \ a(n)=3^2 \ \ のとき$
$\quad n^2+2=3^2 \quad これを満たす自然数 \ n\ はない$
(iii)$\ \ a(n)=3^3 \ \ のとき$
$\quad n^2+2=3^3 \ \ より \quad n=5$
$\quad 3^p5^{m-1}-5-45=5^2 $
$\quad 3^p5^{m-2}=1+9 +5=15=3 \times 5$
$よって \quad p=1,\quad m=3 $
$求める自然数の組はただ \ 1\ つ存在して、 (m,\ n)=(3,\ 5)$
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