群馬大学(医学) 2023年　問題5


$xy\ 平面上において、不等式 \ \ (ye^x)^2 \leqq (\sin 2x )^2 ,\ \ 0 \leqq x \leqq \pi\ \ の表す領域を \ D\ とし、領域 \ D\ と直線 \ x=a\ の$
$共通部分の線分の長さを \ l(a)\ とする。以下の問に答えよ。$
$(1)\ \ l(a) \ が \ a=a_0 \ で最大となるとき、\tan a_0 \ \ の値を求めよ。$
$(2)\ \ 領域 \ D\ の面積を求めよ。$


(1)


$(ye^x)^2 - (\sin 2x )^2 \leqq 0 \quad より$

$(ye^x - \sin 2x)(ye^x + \sin 2x) \leqq 0 $

$ (y - e^{-x}\sin 2x)(y + e^{-x}\sin 2x) \leqq 0$

$次の \ 2\ つの場合がある。$
\[ \hspace{1em} ① \quad \left\{ \begin{array}{l} y \leqq e^{-x}\sin 2x \\ y \geqq -e^{-x}\sin 2x \\ \end{array} \right. \quad より \qquad -e^{-x}\sin 2x \leqq y \leqq e^{-x}\sin 2x \\ \] \[ \hspace{1em} ② \quad \left\{ \begin{array}{l} y \geqq e^{-x}\sin 2x \\ y \leqq -e^{-x}\sin 2x \\ \end{array} \right. \quad より \qquad e^{-x}\sin 2x \leqq y \leqq -e^{-x}\sin 2x \\ \]
$y=e^{-x}\sin 2x \ \ と \ \ y=-e^{-x}\sin 2x \ \ のグラフは \ x\ 軸に関して対称だから$

$y=e^{-x}\sin 2x \ \ の増減を調べる。$

$y'=-e^{-x}\sin 2x +2e^{-x}\cos 2x=e^{-x}(2\cos 2x - \sin 2x)=\sqrt{5} e^{-x}(\cfrac{2}{\sqrt{5}}\cos 2x - \cfrac{1}{\sqrt{5}}\sin 2x)$

$ここで、 \cos \alpha =\cfrac{2}{\sqrt{5}} , \quad \sin \alpha =\cfrac{1}{\sqrt{5}} \quad とおくと \quad \tan \alpha=\cfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\cfrac{1}{\sqrt{5}} \times \cfrac{\sqrt{5}}{2}=\cfrac{1}{2}$

$このとき $

$y'=\sqrt{5} e^{-x}(\cos \alpha \cos 2x - \sin \alpha \sin 2x)=\sqrt{5} e^{-x}\cos (2x+ \alpha )$

$ただし \ \ \alpha \ は \ \ \cfrac{1}{2} < \cfrac{1}{\sqrt{3}} \ \ だから \ \ \tan \alpha < \tan \cfrac{\pi}{6} \quad \therefore \ \ 0 < \alpha < \cfrac{\pi}{6}$

$0 \leqq x \leqq \pi \quad より \quad 0 < 2x +\alpha < 2\pi +\cfrac{\pi}{6}$

$y'=0 \quad より \quad 2x+\alpha =\cfrac{\pi}{2}, \quad \cfrac{3}{2}\pi$

$\therefore \ \ x=\cfrac{\pi}{4} - \cfrac{\alpha}{2}, \quad \cfrac{3}{4}\pi - \cfrac{\alpha}{2}$

$増減表は$
\[ \quad \begin{array}{c||c|c|c|c|c} x & 0 & \cdots & \small{\cfrac{\pi}{4} - \cfrac{\alpha}{2}} & \cdots & \small{\cfrac{3}{4}\pi - \cfrac{\alpha}{2}} & \cdots & \pi\\ \hline y' & & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline y & 0 & \nearrow & 極大 & \searrow & 極小 & \nearrow & 0\\ \end{array} \]

　

$領域 \ D\ は右のグラフのとおりで、l(a) \ が 最大となるのは$

$y=e^{-x}\sin 2x \ \ が最大値をとるときだから$

$a_0= \cfrac{\pi}{4} - \cfrac{\alpha}{2} $

$ここで、 \quad \tan ^2\cfrac{\alpha}{2}=\cfrac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}=\cfrac{1-\dfrac{2}{\sqrt{5}}}{1+\dfrac{2}{\sqrt{5}}} =\cfrac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}+2}=(\sqrt{5}-2)^2$

$\tan \cfrac{\alpha}{2} > 0 \ \ だから \quad \tan \cfrac{\alpha}{2} = \sqrt{5}-2$

$よって $
\begin{eqnarray*} \tan a_0 &=& \tan \big(\cfrac{\pi}{4} - \cfrac{\alpha}{2}\big)\\ \\ &=&\cfrac{\tan \cfrac{\pi}{4} - \tan \cfrac{\alpha}{2}}{1+\tan \cfrac{\pi}{4} \tan \cfrac{\alpha}{2}}\\ \\ &=&\cfrac{1-(\sqrt{5}-2)}{1+(\sqrt{5}-2)}\\ \\ &=&\cfrac{3-\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}\\ \\ &=&\cfrac{(3-\sqrt{5})(\sqrt{5}+1)}{4}\\ \\ &=&\cfrac{\sqrt{5}-1}{2}\\ \end{eqnarray*}

(2)


$領域 \ D\ のグラフが \ x\ 軸に関して対称だから、その面積 \ S\ は$
\[S=2\Big(\int_0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}}e^{-x}\sin 2x dx + \int_{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}}^{\pi}(-e^{-x}\sin 2x) dx\Big)\] \[ 第 \ 2\ 項を \ I_2\ とおき、x=t+\cfrac{\pi}{2}\ \ と変換すると \quad dx=dt \qquad \begin{array}{c|c} x & \cfrac{\pi}{2}\ \ \rightarrow \pi \quad \\ \hline t & \ 0 \rightarrow \cfrac{\pi}{2} \\ \end{array} \] \begin{eqnarray*} I_2 &=&-\int_0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}}e^{-t-\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}} \sin 2(t+\cfrac{\pi}{2}) dt\\ \\ &=&-e^{-\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}}\int_0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}}e^{-t} \sin( 2t+\pi) dt\\ \\ &=&e^{-\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}}\int_0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}}e^{-t} \sin 2t dt\\ \\ &=&e^{-\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}}\int_0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}}e^{-x} \sin 2x dx\\ \end{eqnarray*}
$したがって$
\[S=2\Big(\int_0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}}e^{-x}\sin 2x dx + e^{-\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}}\int_0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}}e^{-x} \sin 2x dx \Big)= 2\big (1+ e^{-\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}}\big) \int_0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}}e^{-x}\sin 2x dx \] \[ここで \quad I=\int_0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}}e^{-x}\sin 2x dx \quad とおくと\] \begin{eqnarray*} I &=&\big[-e^{-x}\sin 2x \big] _0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}} + \int_0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}}e^{-x} \cdot 2\cos 2x dx\\ \\ &=&2\int_0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}}e^{-x} \cos 2x dx\\ \\ &=&2\big\{ \big[-e^{-x} \cos 2x \big] _0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}} - \int_0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}}e^{-x} \cdot 2 \sin 2x dx \big\}\\ \\ &=&2\big(e^{ - \scriptsize{\cfrac{\pi}{2} } }+ 1 \big ) - 4\int_0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}}e^{-x} \sin 2x dx \\ \\ &=&2\big(e^{ - \scriptsize{\cfrac{\pi}{2} } }+ 1 \big ) - 4I\\ \end{eqnarray*} $\therefore \ \ 5I=2\big(e^{ - \scriptsize{\cfrac{\pi}{2} } }+ 1 \big ) $

$I=\cfrac{2}{5} \big(e^{ - \scriptsize{\cfrac{\pi}{2} } }+ 1 \big ) $

$ゆえに$

$S=2\big (1+ e^{-\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}}\big) I= 2\big (1+ e^{-\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}}\big) \times \cfrac{2}{5} \big(e^{ - \scriptsize{\cfrac{\pi}{2} } }+ 1 \big ) = \cfrac{4}{5} \big( 1+ e^{ - \scriptsize{\cfrac{\pi}{2} } } \big ) ^2$


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